Demonstrações ⇒ Demonstração - Soma de Senos/Cossenos de arcos em P.A

[Jvrextrue13]

O objetivo dessa demonstração é encontrar uma expressão que facilite o cálculo das duas somas telescópicas a seguir:

[tex3]S=sen(x)+sen(x+r)+sen(x+2r)+...+sen(x+(n-1)r)\\K=cos(x)+cos(x+r)+cos(x+2r)+...+cos(x+(n-1)r)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=sen(x)+sen(x+r)+sen(x+2r)+...+sen(x+(n-1)r)\\K=cos(x)+cos(x+r)+cos(x+2r)+...+cos(x+(n-1)r)[/tex3]

Onde os arcos estão em progressão aritmética com n termos e de razão r, e termo inicial x

Para fazer isso, analisaremos a seguinte soma:

[tex3]\sum_{k=0}^{n-1}cis(x+kr)=T=cis(x)+cis(x+r)+cis(x+2r)+...+cis(x+(n-1)r)\\OBS:cis(x)=cos(x)+isen(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=0}^{n-1}cis(x+kr)=T=cis(x)+cis(x+r)+cis(x+2r)+...+cis(x+(n-1)r)\\OBS:cis(x)=cos(x)+isen(x)[/tex3]

Pelas propriedades de exponenciação na forma trigonométrica de números complexos, a soma assim pode ser reescrita como :
[tex3]w=cis(r)\\z=cis(x)\\\text{Portanto, a soma pode ser reescrita como}:\\T=z+zw+zw^2+zw^3+...+zw^{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]w=cis(r)\\z=cis(x)\\\text{Portanto, a soma pode ser reescrita como}:\\T=z+zw+zw^2+zw^3+...+zw^{n-1}[/tex3]

Veja que se trata da soma dos n termos de uma progressão geométrica de razão w e termo inicial z.
Fazendo a soma da P.G Finita temos :

[tex3]T=z\left(\frac{w^n-1}{w-1}\right)=z\left(\frac{1-w^n}{1-w}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T=z\left(\frac{w^n-1}{w-1}\right)=z\left(\frac{1-w^n}{1-w}\right)[/tex3]

Agora, vamos utilizar a seguinte expressão:
[tex3]1-cis(\theta )=-2isen\left(\frac{\theta }{2}\right)cis\left(\frac{\theta }{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-cis(\theta )=-2isen\left(\frac{\theta }{2}\right)cis\left(\frac{\theta }{2}\right)[/tex3]

[tex3]T=z\left(\frac{1-w^n}{1-w}\right)=z\left(\frac{1-cis(nr)}{1-cis(r)}\right)=z\left(\frac{-2i.sen\left(\frac{nr}{2}\right)cis\left(\frac{nr}{2}\right)}{-21.sen\left(\frac{r}{2}\right)cis\left(\frac{r}{2}\right)}\right)=cis(x).\left(\frac{sen\left(\frac{nr}{2}\right)cis\left(\frac{nr}{2}\right)}{sen\left(\frac{r}{2}\right)cis\left(\frac{r}{2}\right)}\right)=\frac{sen\left(\frac{nr}{2}\right)cis\left(x+\frac{r(n-1)}{2}\right)}{sen\left(\frac{r}{2}\right)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T=z\left(\frac{1-w^n}{1-w}\right)=z\left(\frac{1-cis(nr)}{1-cis(r)}\right)=z\left(\frac{-2i.sen\left(\frac{nr}{2}\right)cis\left(\frac{nr}{2}\right)}{-21.sen\left(\frac{r}{2}\right)cis\left(\frac{r}{2}\right)}\right)=cis(x).\left(\frac{sen\left(\frac{nr}{2}\right)cis\left(\frac{nr}{2}\right)}{sen\left(\frac{r}{2}\right)cis\left(\frac{r}{2}\right)}\right)=\frac{sen\left(\frac{nr}{2}\right)cis\left(x+\frac{r(n-1)}{2}\right)}{sen\left(\frac{r}{2}\right)}[/tex3]

Agora, vejamos que, S e K são, respectivamente, a parte imaginária e a parte real de T, logo, para encontrar S trocamos "cis" por "sen". E para encontrar K, trocamos "cis" por "cos" , podemos fazer isso justamente pela propriedade de igualdade de complexos.

Assim obtemos finalmente o nosso objetivo que é :
[tex3]S=\boxed{\frac{sen\left(\frac{nr}{2}\right)sen\left(x+\frac{r(n-1)}{2}\right)}{sen\left(\frac{r}{2}\right)}}\\K=\boxed{\frac{sen\left(\frac{nr}{2}\right)cos\left(x+\frac{r(n-1)}{2}\right)}{sen\left(\frac{r}{2}\right)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\boxed{\frac{sen\left(\frac{nr}{2}\right)sen\left(x+\frac{r(n-1)}{2}\right)}{sen\left(\frac{r}{2}\right)}}\\K=\boxed{\frac{sen\left(\frac{nr}{2}\right)cos\left(x+\frac{r(n-1)}{2}\right)}{sen\left(\frac{r}{2}\right)}}[/tex3]