Ensino Médio

Mensagem não lidapor **jeabud** » 29 Jun 2020, 21:43 · Mensagem não lida por **jeabud** » 29 Jun 2020, 21:43

Sendo sen x – sen y = 2 . sen [tex3]\frac{x-y}{2}[/tex3] . cos [tex3]\frac{x+y}{2}[/tex3] e lembrando que | sen z | ≤ | z |, | cos t | ≤ 1 e |a . b | = | a | . | b |, compare | sen x – sen y | e | x – y |, com x e y números reais quaisquer.
gab: | sen x – sen y | [tex3]\leq [/tex3] | x – y |

Mensagem não lidapor **mcarvalho** » 29 Jun 2020, 21:58 · Mensagem não lida por **mcarvalho** » 29 Jun 2020, 21:58

Boa noite.

O enunciado nos dá o ferramental necessário, o que é bom.

[tex3]|\sen x-\sen y|=\left |2\cdot \sen\(\frac{x-y}2\)\cdot \cos \(\frac{x+y}2\)\right |=2\left |\sen \(\frac{x-y}2\)\cdot \cos \(\frac{x+y}2\)\right |[/tex3] (i)

Partiremos de [tex3]\left |\sen \(\frac{x-y}2\)\right |\le \left | \frac{x-y}2 \right |[/tex3] (ii)

Como [tex3]|\cos x|\le 1[/tex3] , então [tex3]a\cdot |\cos x|\le a[/tex3] , multiplicando (ii) por [tex3]\left |\cos \(\frac{x+y}2\)\right |[/tex3] , obteremos:

[tex3]\left |\sen \(\frac{x-y}2\)\right |\cdot \left |\cos \(\frac{x+y}2\)\right |\le \left | \frac{x-y}2 \right |[/tex3]

Substituindo em (i) e estará provado:

[tex3]\boxed{|\sen x-\sen y|\le |x-y|}[/tex3]

Mensagem não lidapor **jeabud** » 29 Jun 2020, 22:37 · Mensagem não lida por **jeabud** » 29 Jun 2020, 22:37

mcarvalho, em ii pq o Cos só apareceu no 1 membro?

Mensagem não lidapor **mcarvalho** » 29 Jun 2020, 22:50 · Mensagem não lida por **mcarvalho** » 29 Jun 2020, 22:50

Note que nós tinhamos [tex3]\left |\sen \(\frac{x-y}2\)\right |\le \left | \frac{x-y}2 \right |[/tex3] (1)

A função cosseno é limitada por -1 e 1. Em módulo, temos que [tex3]|\cos x|\le 1[/tex3] , o que quer dizer que se eu pegar um termo [tex3]a[/tex3] qualquer e multiplicar por [tex3]|\cos x|[/tex3] , o que eu vou obter é menor do que [tex3]a[/tex3] .

Então, na prática, [tex3]\left |\sen \(\frac{x-y}2\)\right | \cdot \left |\cos \(\frac{x+y}2\)\right |\le \left |\sen \(\frac{x-y}2\)\right |[/tex3] (2), exatamente por esse motivo.

Mas [tex3]\left |\sen \(\frac{x-y}2\)\right |\le \left |\frac{x-y}2\right |[/tex3] por (1), então, juntando com (2), obteremos:

[tex3]\left |\sen \(\frac{x-y}2\)\right | \cdot \left |\cos \(\frac{x+y}2\)\right |\le \left |\sen \(\frac{x-y}2\)\right |\le \left |\frac{x-y}2\right |[/tex3]

Ou, simplesmente: [tex3]\left |\sen \(\frac{x-y}2\)\right | \cdot \left |\cos \(\frac{x+y}2\)\right |\le \left |\frac{x-y}2\right |[/tex3]

Uma outra maneira de pensar isso seria partir de [tex3]\left |\cos \(\frac{x+y}2\)\right |\le 1[/tex3] , multiplicar por [tex3]\left |\sen\(\frac{x-y}2\)\right | [/tex3] , obtendo [tex3]\left |\sen \(\frac{x-y}2\)\right | \cdot \left |\cos \(\frac{x+y}2\)\right |\le \left |\sen \(\frac{x-y}2\)\right |[/tex3] e daí em diante é só aplicar a informação do enunciado.

Mensagem não lidapor **jeabud** » 29 Jun 2020, 23:12 · Mensagem não lida por **jeabud** » 29 Jun 2020, 23:12

mcarvalho, grato

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