Retorno para mais uma daquelas demonstrações loucas!!! Essa eu estava devendo de ontem para o problema ser resolvido e me recordo de ao menos dois onde este conceito pode ser utilizado para facilitar contas e facilitar raciocínios.
LEMMA 1
Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3]
de base [tex3]AB[/tex3]
tal que a altura [tex3]CH=h[/tex3]
e raio do Incirculo [tex3]r[/tex3]
verifica-se:
[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{B}{2})=1-\frac{2r}{h}[/tex3]
Seja [tex3]I[/tex3]
incentro do [tex3]\Delta ABC[/tex3]
tracemos [tex3]AI,BI[/tex3]
e [tex3]IM=r[/tex3]
, com [tex3]M[/tex3]
em [tex3]AB[/tex3]
.
Sabemos por propriedade que [tex3]AM=p-a[/tex3]
e [tex3]MB=p-b[/tex3]
APlicando um pouco de trigonometria!
[tex3]tg(\frac{A}{2})=\frac{r}{p-a}[/tex3]
e [tex3]tg(\frac{B}{2})=\frac{r}{p-b}[/tex3]
Multiplicando ambas
[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{B}{2})=k=\frac{r²}{(p-a)*(p-b)}[/tex3]
Pela formula de Heron, temos que [tex3]r²=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}[/tex3]
substituindo
[tex3]k=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)(p-b)}[/tex3]
[tex3]k=\frac{p-c}{p}[/tex3]
[tex3]k=1-\frac{c}{p}[/tex3]
[tex3]k=1-\frac{c*r}{p*r}[/tex3]
[tex3]k=1-\frac{c*r}{S}[/tex3]
Ora [tex3]2S=c*h[/tex3]
ENTÃO [tex3]c=\frac{2S}{h}[/tex3]
[tex3]tg(\frac{A}{2})tg(\frac{B}{2})=1-\frac{2S*r}{h*S}=1-\frac{2r}{h}[/tex3]
PROVED
CONSEQUENCIAS
Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3]
de incirculo de raio [tex3]R[/tex3]
marca-se o ponto [tex3]M[/tex3]
sobre [tex3]AB[/tex3]
tal que os raios dos incirculos dos [tex3]\Delta ACM[/tex3]
e [tex3]\Delta MCB[/tex3]
valem [tex3]a,b[/tex3]
tem-se que:
[tex3]1-\frac{2R}{h}=(1-\frac{2a}{h})(1-\frac{2b}{h})[/tex3]
(QUE RESULTADO SENHORES)
Aplicando o lemma no [tex3]\Delta ABC[/tex3]
temos
[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{B}{2})=1-\frac{2R}{h}[/tex3]
Aplicando o lema no [tex3]\Delta ACM [/tex3]
[tex3]tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{M}{2})=1-\frac{2a}{h}[/tex3]
Aplicando o lema no [tex3]\Delta MCB[/tex3]
[tex3]tg(\frac{B}{2})*tg(90-\frac{M}{2})=1-\frac{2b}{h}[/tex3]
fazendo o produto desta com a anterior
[tex3]tg(\frac{B}{2})*tg(90-\frac{M}{2})*tg(\frac{A}{2})*tg(\frac{M}{2})=(1-\frac{2a}{h})(1-\frac{2b}{h})[/tex3]
NOte que [tex3]tg(90-\frac{M}{2})*tg(\frac{A}{2})=1[/tex3]
e pela primeira equação!
[tex3]1-\frac{2R}{h}=(1-\frac{2a}{h})(1-\frac{2b}{h})[/tex3]
fica verificado!
CASO ESPECIAL
Se [tex3]a=b[/tex3]
ENTÃO [tex3]1-\frac{2R}{h}=(1-\frac{2a}{h})²[/tex3]
Esse teorema se extende para [tex3]n[/tex3]
circunraios e obedecerá sempre esse esquema!
viewtopic.php?f=20&t=83544 (AGORA É TRIVIAL)
Ele também pode ser usado naquele problema da área de um triangulo retangulo cuja ceviana é comum OU NÃO
viewtopic.php?f=28&t=70749
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Demonstrações ⇒ (Demonstração) Teorema de Angela Drei e suas consequências
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2020
18
22:34
(Demonstração) Teorema de Angela Drei e suas consequências
Última edição: jvmago (Qui 18 Jun, 2020 22:35). Total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Jun 2020
21
15:32
Re: (Demonstração) Teorema de Angela Drei e suas consequências
Se possível, algum moderador poderia enviar para a área de demosntrações? grato
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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