Olimpíadas ⇒ (IMO 1979) Frações Irredutíveis Tópico resolvido

[Deleted User 24633]

Sejam [tex3]p, q[/tex3]

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[tex3]p, q[/tex3]

números naturais primos entre si tais que:
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-...-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}[/tex3]

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[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-...-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}[/tex3]

.
Prove que [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

é divisível por [tex3]1979[/tex3]

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[tex3]1979[/tex3]

.

[Tassandro]

pedro1729,
Podemos escrever assim
[tex3]\frac pq=1+\frac12+\frac13+...+\frac1{1319}-2\bigg(\frac12+\frac14+...+\frac1{1318}\bigg)=\frac{1}{660}+\frac1{661}+...+\frac{1}{1319}[/tex3]

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[tex3]\frac pq=1+\frac12+\frac13+...+\frac1{1319}-2\bigg(\frac12+\frac14+...+\frac1{1318}\bigg)=\frac{1}{660}+\frac1{661}+...+\frac{1}{1319}[/tex3]

Agora, veja que [tex3]\frac1{660}+\frac{1}{1319}=\frac{1979}{660\cdot1319},\frac{1}{661}+\frac{1}{1318}=\frac{1979}{661\cdot1318}...[/tex3]

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[tex3]\frac1{660}+\frac{1}{1319}=\frac{1979}{660\cdot1319},\frac{1}{661}+\frac{1}{1318}=\frac{1979}{661\cdot1318}...[/tex3]

Logo, é fácil ver que [tex3]1979\mid p.[/tex3]

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[tex3]1979\mid p.[/tex3]

[Deleted User 24633]

pedro1729,
[...] Logo, é fácil ver que [tex3]1979\mid p.[/tex3]

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[tex3]1979\mid p.[/tex3]

Só faltou você provar que [tex3]mdc(1979, \displaystyle\sum_ {i=660}^{989} n(1979-n))=1[/tex3]

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[tex3]mdc(1979, \displaystyle\sum_ {i=660}^{989} n(1979-n))=1[/tex3]

.

[Tassandro]

pedro1729,
Dever de casa
Dica: 1979 é primo