Ensino Superior ⇒ Verificação Transformada de Laplace Tópico resolvido

[guimileski]

Verifique se a solução da transformada inversa de Laplace está correta:

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[AnthonyC]

Podemos dividir a fração em duas:
[tex3]\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s^2+2^2}+e^{-3s}\frac{s}{s^2+2^2}\right\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s^2+2^2}+e^{-3s}\frac{s}{s^2+2^2}\right\}[/tex3]

Usando a linearidade da transformada, podemos separar:
[tex3]\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s^2+2^2}\right\}+L\left\{e^{-3s}\frac{s}{s^2+2^2}\right\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s^2+2^2}\right\}+L\left\{e^{-3s}\frac{s}{s^2+2^2}\right\}[/tex3]

A primeira podemos reconhecer como sendo a transformada de [tex3]\sen (2t)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen (2t)[/tex3]

.
Já a segunda, parece com a transformada de [tex3]\cos (2t)[/tex3]

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[tex3]\cos (2t)[/tex3]

, porém o [tex3]e^{-3s}[/tex3]

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[tex3]e^{-3s}[/tex3]

indica que a inversa deve conter a função degrau unitário [tex3]u(t-a)[/tex3]

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[tex3]u(t-a)[/tex3]

, sendo [tex3]a=3[/tex3]

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[tex3]a=3[/tex3]

. Além disso, precisamos deslocar a função [tex3]\cos (2t)[/tex3]

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[tex3]\cos (2t)[/tex3]

em [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

unidades para a direita. Colocando tudo isso junto, temos:
[tex3]f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2+e^{-3s}s}{s^2+2^2}\right\}=\sen (2t)+u(t-3)\cos (2[t-3])[/tex3]

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[tex3]f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2+e^{-3s}s}{s^2+2^2}\right\}=\sen (2t)+u(t-3)\cos (2[t-3])[/tex3]

Como [tex3]u(t-3)=\begin{cases}
0, \space t<3 \\
1, \space t>3
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]u(t-3)=\begin{cases}
0, \space t<3 \\
1, \space t>3
\end{cases}[/tex3]

, temos que :

[tex3]f(t)=\begin{cases}
\sen (2t), \space t<3 \\
\sen (2t)+u(t-3)\cos (2[t-3]), \space t>3
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]f(t)=\begin{cases}
\sen (2t), \space t<3 \\
\sen (2t)+u(t-3)\cos (2[t-3]), \space t>3
\end{cases}[/tex3]

Como podemos ver, a função é muito próxima da apresentada, exceto o fato do cosseno ser calculado em [tex3]t-3[/tex3]

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[tex3]t-3[/tex3]

, fazendo com que [tex3]\cos(2[t-3])\ne \cos(2t-3)[/tex3]

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[tex3]\cos(2[t-3])\ne \cos(2t-3)[/tex3]

. Assim, a função apresentada não é a transformada inversa.