IME / ITA ⇒ (CN - 1986) Geometria Plana Tópico resolvido

[gabrielifce]

Em um triangulos de lado m e nsão opostos respectivamente, aos ângulo de 60° e 40°. O segmento da bissetriz do maior ângulo interno do triângulo é dado por:

A) [tex3]m\sqrt{\frac{m+n}{n}}[/tex3]

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[tex3]m\sqrt{\frac{m+n}{n}}[/tex3]

B) [tex3]n\sqrt{\frac{m+n}{m}}[/tex3]

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[tex3]n\sqrt{\frac{m+n}{m}}[/tex3]

C) [tex3]m\sqrt{\frac{n}{m+n}}[/tex3]

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[tex3]m\sqrt{\frac{n}{m+n}}[/tex3]

D) [tex3]n\sqrt{\frac{m}{m+n}}[/tex3]

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[tex3]n\sqrt{\frac{m}{m+n}}[/tex3]

E) [tex3]\sqrt{\frac{m}{n}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{m}{n}}[/tex3]

Resposta

---

D

[VALDECIRTOZZI]

Considere a figura abaixo, a partir dos dados fornecidos e sendo [tex3]d[/tex3]

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[tex3]d[/tex3]

a medida procurada.

Bissetriz do triângulo.jpg (12.56 KiB) Exibido 4347 vezes

Inicialmente, note que [tex3]\Delta ADC[/tex3]

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[tex3]\Delta ADC[/tex3]

é isósceles.

Apliquemos o teorema da Bissetriz Interna no [tex3]\Delta ABC[/tex3]

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[tex3]\Delta ABC[/tex3]

:

[tex3]\frac{\overline{AC}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{BD}}[/tex3]

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[tex3]\frac{\overline{AC}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{BD}}[/tex3]

[tex3]\frac{m}{d}=\frac{n}{x}[/tex3]

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[tex3]\frac{m}{d}=\frac{n}{x}[/tex3]

[tex3]x=\frac{d \cdot n}{m}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{d \cdot n}{m}[/tex3]

[tex3](I)[/tex3]

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[tex3](I)[/tex3]

[tex3]\overline{BC}=d+x[/tex3]

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[tex3]\overline{BC}=d+x[/tex3]

Substituindo I:

[tex3]\overline{BC}=d+\frac{d \cdot n}{m}=\frac{d \cdot m+d \cdot n}{m}=\frac{d\cdot (m+n) }{m}[/tex3]

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[tex3]\overline{BC}=d+\frac{d \cdot n}{m}=\frac{d \cdot m+d \cdot n}{m}=\frac{d\cdot (m+n) }{m}[/tex3]

Agora, note que [tex3]\Delta ABC \ e \ \Delta ADB[/tex3]

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[tex3]\Delta ABC \ e \ \Delta ADB[/tex3]

são semelhantes, portanto, podemos escrever:

[tex3]\frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}[/tex3]

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[tex3]\frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}[/tex3]

[tex3]\frac{m}{d}=\frac{\frac{d\cdot (m+n)}{m}}{n}[/tex3]

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[tex3]\frac{m}{d}=\frac{\frac{d\cdot (m+n)}{m}}{n}[/tex3]

[tex3]\frac{m}{d}=\frac{d \cdot (m+n)}{m \cdot n}[/tex3]

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[tex3]\frac{m}{d}=\frac{d \cdot (m+n)}{m \cdot n}[/tex3]

[tex3]m^2 \cdot n=d^2 \cdot (m+n)[/tex3]

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[tex3]m^2 \cdot n=d^2 \cdot (m+n)[/tex3]

[tex3]d^2=\frac{m^2 \cdot n}{m+n}[/tex3]

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[tex3]d^2=\frac{m^2 \cdot n}{m+n}[/tex3]

[tex3]d=m \cdot \sqrt{\frac{n}{m+n}}[/tex3]

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[tex3]d=m \cdot \sqrt{\frac{n}{m+n}}[/tex3]

Resultado que nos dá a resposta C e não D como no seu gabarito. Não sei se fiz algo errado, porém, creio que deu uma luz na solução.

Espero ter ajudado!

[Deleted User 23699]

[tex3]Bis=\sqrt{mn-\frac{mnx^2}{(m+n)^2}} \\
\frac{x}{sen80}=\frac{m}{sen40}=\frac{n}{sen60}\rightarrow x=\frac{2msen80}{\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]Bis=\sqrt{mn-\frac{mnx^2}{(m+n)^2}} \\
\frac{x}{sen80}=\frac{m}{sen40}=\frac{n}{sen60}\rightarrow x=\frac{2msen80}{\sqrt{3}}[/tex3]

Resta achar sen(80) e substituir...