IME/ITA ⇒ (ITA - 1985) Estática Tópico resolvido

[Henricj0]

Um cilindro de raio R está em equilíbrio, apoiado num plano inclinado, áspero, de forma que seu eixo é horizontal. O cilindro é formado de duas metades unidas pela secção longitudinal, das quais uma tem densidade [tex3]d_{1}[/tex3]

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[tex3]d_{1}[/tex3]

e outra densidade [tex3]d_{2}[/tex3]

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[tex3]d_{2}[/tex3]

<[tex3]d_{1}[/tex3]

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[tex3]d_{1}[/tex3]

. São dados os ângulos [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

de inclinação do plano inclinado e a distância h=4R/3 [tex3]\pi[/tex3]

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[tex3]\pi[/tex3]

do centro de massa de cada metade à secção longitudinal de separação sobre o horizonte podemos afirmar que:

A) sen [tex3]\beta[/tex3]

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[tex3]\beta[/tex3]

=cos [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

B) [tex3]\alpha = \beta[/tex3]

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[tex3]\alpha = \beta[/tex3]

C) sen [tex3]\beta = \frac{3\pi }{4}\cdot\frac{d_{1}+d_{2}}{d_{1}-d_{2}}\cdot[/tex3]

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[tex3]\beta = \frac{3\pi }{4}\cdot\frac{d_{1}+d_{2}}{d_{1}-d_{2}}\cdot[/tex3]

sen [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

D) sen [tex3]\beta = \frac{5\pi }{8}\cdot\frac{d_{1}}{d_{2}}\cdot[/tex3]

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[tex3]\beta = \frac{5\pi }{8}\cdot\frac{d_{1}}{d_{2}}\cdot[/tex3]

sen [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

E) sen [tex3]\beta[/tex3]

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[tex3]\beta[/tex3]

=1

[Deleted User 23699]

Por eliminação consigo marcar C (que é o gabarito que possuo, inclusive). Todavia, não consegui chegar formalmente no resultado

[Tassandro]

Henricj0, Zhadnyy,
Temos que:
[tex3]a=h\senβ;e=R\senα;b=a-e;f=a+e[/tex3]

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[tex3]a=h\senβ;e=R\senα;b=a-e;f=a+e[/tex3]

Usando que [tex3]τ_R=0[/tex3]

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[tex3]τ_R=0[/tex3]

em relação a O:
[tex3]P_1\cdot b=P_2\cdot f\implies d_1b=d_2f\text{ (já que os volumes são os mesmos)}[/tex3]

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[tex3]P_1\cdot b=P_2\cdot f\implies d_1b=d_2f\text{ (já que os volumes são os mesmos)}[/tex3]

Assim,
[tex3]d_1(a-e)=d_2(a+e)\implies d_1(h\senβ-R\senα)=d_2(h\senβ+R\senα)\implies\\
h\senβ(d_1-d_2)=R\senα(d_1+d_2)\implies\\
\senβ=\frac{R(\senα)(d_1+d_2)}{h(d_1-d_2)},\text{ mas }h=\frac{4R}{3π}[/tex3]

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[tex3]d_1(a-e)=d_2(a+e)\implies d_1(h\senβ-R\senα)=d_2(h\senβ+R\senα)\implies\\
h\senβ(d_1-d_2)=R\senα(d_1+d_2)\implies\\
\senβ=\frac{R(\senα)(d_1+d_2)}{h(d_1-d_2)},\text{ mas }h=\frac{4R}{3π}[/tex3]

Substituindo e simplificando, vem que:
[tex3]\boxed{\boxed{\senβ=\frac{3π(d_1+d_2)\senα}{4(d_1-d_2)}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{\senβ=\frac{3π(d_1+d_2)\senα}{4(d_1-d_2)}}}[/tex3]

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