IME/ITA ⇒ (Hibbeler) - Energia

[Tassandro]

A figura a seguir mostra a trajetória percorrida por uma esfera que foi abandonada a uma altura H sobre um plano inclinado. Se os atritos são desprezíveis, determine H em função de R, a fim de que a esfera caia exatamente no ponto mais baixo do trecho circular.
[spolier][tex3]H=\frac74R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]H=\frac74R[/tex3]

[/spoiler]
Solução:
Seja A o ponto do trecho circular em que a esfera inicia o seu movimento de queda.
Além disso, O o ponto mais baixo do trecho circular.

Seja α o ângulo formado pela resultante centrípeta e pela força peso e v a velocidade da esfera no instante em que ela se desprende do trecho circular e m a massa da esfera.
Temos que:
[tex3]R_{CP}=P\senα\implies v=\sqrt{gR\senα}\\
\text{Por cinemática, }x=v_x\cdot t\implies\\
R\cosα=v\senα\cdot t\implies t=\frac{R\cosα}{v\senα}=\frac{R\cosα}{\senα\sqrt{Rg\senα}}\\
y=y_0+v_{0_y}\cdot t+\frac{a_y\cdot t^2}{2}\implies\\
0=R(1+\senα)+\frac{\cancel v\cosαR\cosα}{\cancel v\senα}-\frac{gR^2\cos^2α}{2\sen^2αRg\senα}\implies\\
\text{Após algumas simplificações algébricas:}\\
2\sen^3α+3\sen^2α-1=0\implies\\
(\senα+1)(2\sen^2α+\senα-1)=0\implies\senα=1\text{ ou }\senα=\frac{1}2{}\therefore \boxed{\senα=\frac{1}2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R_{CP}=P\senα\implies v=\sqrt{gR\senα}\\
\text{Por cinemática, }x=v_x\cdot t\implies\\
R\cosα=v\senα\cdot t\implies t=\frac{R\cosα}{v\senα}=\frac{R\cosα}{\senα\sqrt{Rg\senα}}\\
y=y_0+v_{0_y}\cdot t+\frac{a_y\cdot t^2}{2}\implies\\
0=R(1+\senα)+\frac{\cancel v\cosαR\cosα}{\cancel v\senα}-\frac{gR^2\cos^2α}{2\sen^2αRg\senα}\implies\\
\text{Após algumas simplificações algébricas:}\\
2\sen^3α+3\sen^2α-1=0\implies\\
(\senα+1)(2\sen^2α+\senα-1)=0\implies\senα=1\text{ ou }\senα=\frac{1}2{}\therefore \boxed{\senα=\frac{1}2}[/tex3]

Pela conservação da energia mecânica:
[tex3]mgH=\frac{mv^2}{2}+mgR(1+\senα)\implies\\
H=\frac{R}{4}+\frac{3R}{2}\\
\therefore\boxed{\boxed{H=\frac74R}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]mgH=\frac{mv^2}{2}+mgR(1+\senα)\implies\\
H=\frac{R}{4}+\frac{3R}{2}\\
\therefore\boxed{\boxed{H=\frac74R}}[/tex3]