Ensino Médio ⇒ (Rufino) Geometria Plana

[Ardovino]

Demonstrar que num triângulo as distâncias do ponto médio de um lado qualquer aos dois outros lados são inversamente proporcionais a estes últimos.

[Tassandro]

Ardovino,
Sem perda de generalidade, suponha que tenhamos um triângulo ABC, sendo M o ponto médio de AB, queremos provar que:
[tex3]\frac{d_{AC}}{d_{BC}}=\frac{BC}{AC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{d_{AC}}{d_{BC}}=\frac{BC}{AC}[/tex3]

Prova:
Os triângulos AMC e CMB possuem aéreas iguais, pois possuem a mesma base MA=MB e altura relativa a AB.
Assim, tomando por base AC e BC, respectivamente, podemos fazer:
[tex3]\frac{d_{AC}\cdot AC}{2}=\frac{d_{BC}\cdot BC}{2}\implies\boxed{\boxed{\frac{d_{AC}}{d_{BC}}=\frac{BC}{AC}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{d_{AC}\cdot AC}{2}=\frac{d_{BC}\cdot BC}{2}\implies\boxed{\boxed{\frac{d_{AC}}{d_{BC}}=\frac{BC}{AC}}}[/tex3]