Pré-Vestibular ⇒ (UENP - 2018) - Geometria Plana. Tópico resolvido

[oilut]

No projeto de um painel, com formato de um hexágono regular com lados de comprimento igual a 10 cm, foi construída uma flor com setores circulares com medida de raio igual a 10 cm e centrados nos vértices do hexágono, conforme representado na figura a seguir.

Com base nesse projeto, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a medida da área da flor.

(A) 50 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

.
(B) 50 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

-75 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.
(C) 150 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

-225 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.
(D) 200 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

-300 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.
(E) 400 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

-150 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.

Resposta

---

(D) 200 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

-300 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.

[Tassandro]

oilut,
A metade da área de cada pétala equivale à área de um setor circular de ângulo igual a 60° menos a área do triângulo equilátero contido nele.
Sendo R=10 cm o raio do círculo e o lado do triângulo, temos que tal área vale:
[tex3]\frac{R^2\cdot\frac{π}{6}}{2}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}=R^2\(\frac{π}{12}-\frac{\sqrt3}{4}\)[/tex3]

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[tex3]\frac{R^2\cdot\frac{π}{6}}{2}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}=R^2\(\frac{π}{12}-\frac{\sqrt3}{4}\)[/tex3]

Mas nós temos 6 pétalas, ou seja, temos 12 áreas com essa medida.
Assim, a área total será:
[tex3]12R^2\(\frac{π}{6}-\frac{\sqrt3}{4}\)=R^2(2π-3\sqrt3)=\boxed{200π-300\sqrt3}[/tex3]

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[tex3]12R^2\(\frac{π}{6}-\frac{\sqrt3}{4}\)=R^2(2π-3\sqrt3)=\boxed{200π-300\sqrt3}[/tex3]

[Planck]

Olá, oilut.

É importante visualizar que a área de uma porção cinza é dada por:

[tex3]2 \cdot \(\text A_{◔}-\text A_{◃}\) = 2 \cdot \(\frac{60\degree\pi 10^2}{360 \degree} - \frac{10^2 \sqrt 3}{4}\) = \frac{100 \pi}{3} -50 \sqrt 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2 \cdot \(\text A_{◔}-\text A_{◃}\) = 2 \cdot \(\frac{60\degree\pi 10^2}{360 \degree} - \frac{10^2 \sqrt 3}{4}\) = \frac{100 \pi}{3} -50 \sqrt 3[/tex3]

Como temos 6 partes dessa, ficamos com:

[tex3]6 \cdot \( \frac{100 \pi}{3} - 50 \sqrt 3\) = 200 \pi - 300 \sqrt 3 \text{ cm}^2[/tex3]

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[tex3]6 \cdot \( \frac{100 \pi}{3} - 50 \sqrt 3\) = 200 \pi - 300 \sqrt 3 \text{ cm}^2[/tex3]

[1]. [tex3]\text A_{◔}-\text A_{◃}[/tex3]

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[tex3]\text A_{◔}-\text A_{◃}[/tex3]

é a diferença entre um setor circular de [tex3]60 \degree[/tex3]

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[tex3]60 \degree[/tex3]

e um triângulo equilátero, sendo que [tex3]\text R = \text L = 10 \text { cm}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text R = \text L = 10 \text { cm}.[/tex3]

[2]. Não vi a resolução anterior, como já havia digitado, resolvi deixar aqui para futuras dúvidas.