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Mensagem não lidapor **CloudAura** » 22 Abr 2015, 22:12 · Mensagem não lida por **CloudAura** » 22 Abr 2015, 22:12

Sejam A, B, C três pontos quaisquer, A [tex3]\neq[/tex3] B. Prove que: X é um ponto da reta AB (se e somente se) CX = aCA + bCB, com a + b = 1

Mensagem não lidapor **Cardoso1979** » 12 Abr 2020, 21:58

Observe

Uma prova:

De acordo com os dados da questão, temos a seguinte figura

: 15867381213312172561454588669344.jpg (254.42 KiB) Exibido 487 vezes

Da figura, temos que

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+\vec{AX}[/tex3]

Como [tex3]\vec{AX}[/tex3] e [tex3]\vec{AB}[/tex3] estão sobre a mesma reta, [tex3]\vec{AX}[/tex3] é múltiplo de [tex3]\vec{AB}[/tex3] , ou seja , [tex3]\vec{AX}=p\vec{AB}[/tex3] , p [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] .

Daí;

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+\vec{AX}[/tex3]

Mas, [tex3]\vec{AX}=p\vec{AB}[/tex3] , segue que

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+p\vec{AB}[/tex3]

Pela figura, [tex3]\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}[/tex3] , então

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+p.(\vec{AC}+\vec{CB})[/tex3]

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}-p.\vec{CA}+p.\vec{CB}[/tex3]

[tex3]\vec{CX}=(1-p).\vec{CA}+p.\vec{CB}[/tex3]

Como pela questão , [tex3]\vec{CX}=a.\vec{CA}+b.\vec{CB}[/tex3] e , do desenvolvimento da solução ( [tex3]\vec{CX}=(1-p).\vec{CA}+p.\vec{CB}[/tex3] ) , resulta que

a = 1 - p e b = p ( comparei os coeficientes correspondentes , ou seja , igualei os coeficientes )

Somando as duas igualdades, resulta

a + b = 1 - p + p = 1

a + b = 1 , o que prova que se X é um ponto sobre a reta AB vale então a relação [tex3]\vec{CX}=a.\vec{CA}+b.\vec{CB}[/tex3] . C.q.p.

Bons estudos!

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