Pré-Vestibular(UnB) Números Complexos Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
andrezza
Veterano
Mensagens: 342
Registrado em: Ter 16 Abr, 2019 11:04
Última visita: 24-09-22
Mar 2020 28 17:04

(UnB) Números Complexos

Mensagem não lida por andrezza »

Considere um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas cartesianas xOy, identificado com o plano complexo, sendo cada ponto P(x, y) correspondente ao número complexo z = x + iy, em que i = −1. Considere ainda que esses pontos estejam distribuídos nos
dois subconjuntos descritos a seguir.
Subconjunto I: Quarenta pontos, vinte dos quais encontramse sobre uma mesma reta e os demais em um semicírculo, como mostra a figura abaixo. Dessa forma, quaisquer três pontos que se encontram no semicírculo nunca estão em linha reta.
1.png
1.png (8.33 KiB) Exibido 1158 vezes
Subconjunto II: N pontos, cada um deles representando um dos vértices de um polígono regular, cuja soma dos ângulos internos é igual a q. Esse polígono encontra-se inscrito na circunferência de centro na origem e raio 1.
Julgue:

1- Se o polígono que origina o subconjunto II tiver 10 lados e se um dos vértices desse polígono estiver sobre o eixo Ox positivo, então z= cos [tex3]\frac{7\pi }{5}[/tex3] +isen [tex3]\frac{7\pi }{5}[/tex3] também será um dos vértices desse polígono.
Resposta

Certo




Avatar do usuário
Planck
5 - Mestre
Mensagens: 2863
Registrado em: Sex 15 Fev, 2019 21:59
Última visita: 28-11-21
Mar 2020 28 17:22

Re: (UnB) Números Complexos

Mensagem não lida por Planck »

Olá, andrezza.

Primeiramente, precisamos descobrir em quantas partes o ângulo central é dividido. Considerando um polígono regular de dez lados, podemos dividir a figura em 10 triângulos congruentes com vértice no centro do polígono, assim as subdivisões do angulo central serão dadas por:

[tex3]\alpha = \frac{360 \degree}{10} = 36\degree = \frac{\pi}{5}[/tex3]

Ou seja, com polígono centrado na origem, o argumento para o primeiro vértice será dado por:

[tex3]z = \cos 36 \degree + i \sen 36 \degree[/tex3]

Para os vértice seguintes, os ângulos aumentarão [tex3]36\degree[/tex3] a cada vértice ou, [tex3]\frac{\pi}{5}[/tex3] a cada vértice. Note que [tex3]\frac{7\pi}{5}[/tex3] faz parte dessa progressão dos ângulos e, desse modo, [tex3]z = \cos \frac{7 \pi}{5} + i \sen \frac{7\pi}{5}[/tex3] será um dos vértices desse polígono. É parecido com o que fazemos no ciclo trigonométrico.

4DDC1B80-A245-4C1A-A8A0-734825276444.png
4DDC1B80-A245-4C1A-A8A0-734825276444.png (109.01 KiB) Exibido 1152 vezes

Última edição: Planck (Sáb 28 Mar, 2020 17:26). Total de 2 vezes.



Avatar do usuário
Tassandro
5 - Mestre
Mensagens: 1905
Registrado em: Sáb 15 Fev, 2020 17:01
Última visita: 03-10-23
Localização: Teresina, PI.
Mar 2020 28 17:29

Re: (UnB) Números Complexos

Mensagem não lida por Tassandro »

andrezza,
Como o polígono formado será regular, podemos escrever que o seu ângulo central será:
[tex3]\frac{360°}{10}=\frac{2π\space rad}{10}=\frac{π\space rad}{5}[/tex3]
Logo, o ângulo entre cada um desses vértices será [tex3]\frac{π}{5} rad[/tex3]
Agora, como um dos vértices está sobre o eixo 0x positivo, os valores do argumento dos demais vértices serão [tex3]\frac{π}{5},\frac{2π}{5},...,\frac{7π}{5},...,\frac{9π}{5}[/tex3] , pois a diferença entre cada um deles, como já vimos, vale [tex3]\frac{π}{5}rad[/tex3]
Agora, como
andrezza escreveu:
Sáb 28 Mar, 2020 17:04
Esse polígono encontra-se inscrito na circunferência de centro na origem e raio 1.
e
andrezza escreveu:
Sáb 28 Mar, 2020 17:04
se um dos vértices desse polígono estiver sobre o eixo Ox positivo
, nós podemos afirmar que raio da circunferência na qual o polígono está escrito vale 1, portanto, o módulo de todos os números complexos que estiverem nos vértices desse polígono será 1.
Sendo [tex3]z=ρ\cisθ[/tex3] , como [tex3]ρ=1[/tex3] e um dos vértices desse polígono tem como argumento o ângulo [tex3]\frac{7π }{5}[/tex3] , é fato que
[tex3]\boxed{z=\cos\frac{7π}{5}+i\sin\frac{7π}{5}\text{ também será um dos vértices desse polígono!}}[/tex3]
✅

Última edição: Tassandro (Sáb 28 Mar, 2020 17:30). Total de 1 vez.


Dias de luta, dias de glória.

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (PAS 3-2016 UnB) Números Complexos
    por amabda53 » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    852 Exibições
    Última msg por LostWalker
  • Nova mensagem (UnB) Números Complexos
    por ALDRIN » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    357 Exibições
    Última msg por Deleted User 23699
  • Nova mensagem (UnB-DF) Números Complexos
    por SBAN » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    165 Exibições
    Última msg por παθμ
  • Nova mensagem Números complexos(Valores dos números)
    por EinsteinGenio » » em Ensino Médio
    4 Respostas
    7525 Exibições
    Última msg por iammaribrg
  • Nova mensagem Números Complexos
    por magben » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    220 Exibições
    Última msg por snooplammer

Voltar para “Pré-Vestibular”