Outra solução, utilizando o Teorema das Raízes Racionais:
[tex3]5x^5 - 5x^4 - 80x + 80 =0 \iff x^5 - x^4 - 16 x + 16 = 0 [/tex3]
O Teorema nos diz que se [tex3]a_n, a_0 \ne 0[/tex3]
e se a equação admite o número racional [tex3]\frac{p}{q}[/tex3]
como raiz, com [tex3]p \in \mathbb Z, q \in \mathbb Z^*[/tex3]
, então, [tex3]a_0~ | ~ p[/tex3]
e [tex3]a_n~|~q[/tex3]
. Assim, podemos fazer:
[tex3]\frac{p}{q} = \pm \frac{1,2,4,8,16}{1}[/tex3]
Testando os possíveis valores:
[tex3]\begin {cases}
(1)^5 - (1)^4 - 16\cdot (1) + 16 =0 \\
(-1)^5 - (-1)^4 - 16 \cdot (-1) + 16 \neq 0 \\
(2)^5 - (2)^4 - 16 \cdot (2) + 16 = 0 \\
(-2)^5 - (-2)^4 - 16 \cdot (-2) + 16 =0
\end{cases}[/tex3]
Agora, como [tex3]2i[/tex3]
e seu conjugado são raízes, então podemos parar o teste, pois já encontramos todas as raízes, haja vista o grau do polinômio. Com isso, as raízes são:
[tex3]\text S = \{1,2, -2, 2i, -2i \}[/tex3]
A soma das raízes resulta em [tex3]1.[/tex3]