Pré-Vestibular ⇒ Sistema linear

[BrunoCFS]

01-estudando o seguinte sistema , obtém-se:

[tex3]\left\{\begin{matrix}
x-2y+z=1& & \\
2x+y-z=2& & \\
x+3y-2z=1& &
\end{matrix}\right.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left\{\begin{matrix}
x-2y+z=1& & \\
2x+y-z=2& & \\
x+3y-2z=1& &
\end{matrix}\right.[/tex3]

a) SPD , porem admite a única solução x=1 ; y=0 e z=0
b) SI
c) SPI , com uma incógnita arbitrária.
d) sem solução.

Resposta

---

c

na minha opinião seria a letra a , porem o gabarito diz se outro.

[Tassandro]

Obrigado pela solução, mestre petras!

[petras]

BrunoCFS,

Condições para análise:
D = 0 : SPI
D = 0 Dx, Dy ou Dz [tex3]\neq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\neq [/tex3]

0 : SI
D [tex3]\neq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\neq [/tex3]

0 : SPD

Calculando o Determinante:
[tex3]D=\left| \begin{array}{rcr}
1 & -2 & 1 \\
2 & 1 & -1\\
1 & 3 & -2
\end{array} \right|=0\\
1*1*(-2)+(-2)*(-1)*1+1*2*3-1*1*1-3*(-1)*1-(-2)*2*(-2)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D=\left| \begin{array}{rcr}
1 & -2 & 1 \\
2 & 1 & -1\\
1 & 3 & -2
\end{array} \right|=0\\
1*1*(-2)+(-2)*(-1)*1+1*2*3-1*1*1-3*(-1)*1-(-2)*2*(-2)=0[/tex3]

Calculando os determinantes secundários encontraremos todos iguais a zero portanto SPI

Escalonando encontraremos

[tex3]D=\left| \begin{array}{rcr}
5 & 0 & -1&5 \\
0 & 5 & -3&0\\
0 & 0 & 0&0
\end{array} \right|=0\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D=\left| \begin{array}{rcr}
5 & 0 & -1&5 \\
0 & 5 & -3&0\\
0 & 0 & 0&0
\end{array} \right|=0\\
[/tex3]

Fazendo y = a teremos
[tex3]5a-3z = 0 \rightarrow 5a = 3z\rightarrow z = \frac{5a}{3}\\
5x-\frac{5a}{3}=5\rightarrow 5x = 5+\frac{5a}{3}\rightarrow x = 1+\frac{a}{3}=\frac{3+a}{3}\\
S = (\frac{3+a}{3},a,\frac{5a}{3})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5a-3z = 0 \rightarrow 5a = 3z\rightarrow z = \frac{5a}{3}\\
5x-\frac{5a}{3}=5\rightarrow 5x = 5+\frac{5a}{3}\rightarrow x = 1+\frac{a}{3}=\frac{3+a}{3}\\
S = (\frac{3+a}{3},a,\frac{5a}{3})[/tex3]

[petras]

Tassandro,
Veja que você encontrou apenas uma solução entre infinitas.

Qualquer múltiplo dessa solução atenderia:[tex3]\frac{5k}{4},\frac{3k}{4},\frac{5k}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5k}{4},\frac{3k}{4},\frac{5k}{4}[/tex3]

outra solução [tex3]\frac{4k}{3}, k, \frac{5k}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4k}{3}, k, \frac{5k}{3}[/tex3]

e assim entre outras infinitas soluções