Seja f : R [tex3]\rightarrow [/tex3]
R uma uma função continua e T-períodica. Mostre que a função G(x)= [tex3]\int\limits_{x}^{x+T}f(t)dt[/tex3]
é constante. Em particular
[tex3]\int\limits_{0}^{T}f(t)dt=\int\limits_{x}^{x+T}f(t)dt[/tex3]
para todo x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Mostrar que uma função T-periodica é constante (usando integral)
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erihh3
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Set 2019
27
23:42
Re: Mostrar que uma função T-periodica é constante (usando integral)
Seja F(x) a primitiva de f(x). Deste modo, F'(x)=f(x).
Analisando a função G(x) pedida
[tex3]G(x)=\int\limits_{x}^{x+T}f(t)dt[/tex3]
Pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se
[tex3]G(x)=F(x+T)-F(x)[/tex3]
Derivando em relação a x
[tex3]G'(x)=F'(x+T)-F'(x)[/tex3]
[tex3]G'(x)=f(x+T)-f(x)[/tex3]
Como f é periódica de período T, [tex3]f(x+T)=f(x),\,\forall x\in \mathbb{R}[/tex3]
Então,
[tex3]G'(x)=0[/tex3]
Ou seja, G(x) é constante.
Sabendo que G(x) é constante, [tex3]G(0)=G(x),\,\forall x\in \mathbb{R}[/tex3]
Daí,
[tex3]\int\limits_{0}^{T}f(t)dt=\int\limits_{x}^{x+T}f(t)dt[/tex3]
Analisando a função G(x) pedida
[tex3]G(x)=\int\limits_{x}^{x+T}f(t)dt[/tex3]
Pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se
[tex3]G(x)=F(x+T)-F(x)[/tex3]
Derivando em relação a x
[tex3]G'(x)=F'(x+T)-F'(x)[/tex3]
[tex3]G'(x)=f(x+T)-f(x)[/tex3]
Como f é periódica de período T, [tex3]f(x+T)=f(x),\,\forall x\in \mathbb{R}[/tex3]
Então,
[tex3]G'(x)=0[/tex3]
Ou seja, G(x) é constante.
Sabendo que G(x) é constante, [tex3]G(0)=G(x),\,\forall x\in \mathbb{R}[/tex3]
Daí,
[tex3]\int\limits_{0}^{T}f(t)dt=\int\limits_{x}^{x+T}f(t)dt[/tex3]
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Set 2019
28
00:15
Re: Mostrar que uma função T-periodica é constante (usando integral)
Caiu uma questão na minha prova de hoje que eu precisei demonstrar essa relação pra fazer. Resumidamente, ela pedia a energia líquida armazenada em um indutor em um circuito em regime permanente. A fonte de tensão era periódica.
Em uma parte da questão eu demonstrei isso que fiz acima. No caso, eu cheguei que a energia líquida era algo da seguinte forma :[tex3]w(t)=\int\limits_{t}^{t+T}g(x)dx= k,\, \forall t\in\mathbb{R}[/tex3]
Aí escrevi a expressão em múltiplos do período.
[tex3]w(0)=\int\limits_{0}^{T}g(x)dx=E(T)-E(0)= k[/tex3] ; onde E(t) é a energia no indutor no tempo t
[tex3]w(T)=E(2T)-E(T)=k[/tex3]
[tex3]w(2T)=E(3T)-E(2T)=k[/tex3]
.
.
[tex3]w((n-1)T)=E(nT)-E((n-1)T)=k[/tex3]
Isso é uma soma telescópica. Somando tudo, tem-se:
[tex3]E(nT)-E(0)=nk[/tex3]
Para [tex3]k\to\infty[/tex3] , que não é nada absurdo uma vez que frequências convencionais variam de 10^3Hz até 10^9Hz para sistemas digitais.
[tex3]E(nT)-E(0)\to \infty[/tex3] (ABSURDO!)
Daí, k=0.
[tex3]w(0)=w(T)=...=w(kT)=0[/tex3]
Portanto, a energia líquida é nula.
Em uma parte da questão eu demonstrei isso que fiz acima. No caso, eu cheguei que a energia líquida era algo da seguinte forma :[tex3]w(t)=\int\limits_{t}^{t+T}g(x)dx= k,\, \forall t\in\mathbb{R}[/tex3]
Aí escrevi a expressão em múltiplos do período.
[tex3]w(0)=\int\limits_{0}^{T}g(x)dx=E(T)-E(0)= k[/tex3] ; onde E(t) é a energia no indutor no tempo t
[tex3]w(T)=E(2T)-E(T)=k[/tex3]
[tex3]w(2T)=E(3T)-E(2T)=k[/tex3]
.
.
[tex3]w((n-1)T)=E(nT)-E((n-1)T)=k[/tex3]
Isso é uma soma telescópica. Somando tudo, tem-se:
[tex3]E(nT)-E(0)=nk[/tex3]
Para [tex3]k\to\infty[/tex3] , que não é nada absurdo uma vez que frequências convencionais variam de 10^3Hz até 10^9Hz para sistemas digitais.
[tex3]E(nT)-E(0)\to \infty[/tex3] (ABSURDO!)
Daí, k=0.
[tex3]w(0)=w(T)=...=w(kT)=0[/tex3]
Portanto, a energia líquida é nula.
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Fev 2020
25
16:38
Re: Mostrar que uma função T-periodica é constante (usando integral)
Nessa parte era para estar escrito [tex3]n\to \infty[/tex3] ao invés de [tex3]k\to\infty[/tex3] na suposição. A conclusão é a mesma
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