Sejam [tex3]a \ e \ b[/tex3]
[tex3]\frac{a^2+b^2}{a+b}\geq \frac{a+b}{2}[/tex3]
números reais tais que [tex3]a+b>0[/tex3]
. Mostre que:Ensino Médio ⇒ Desigualdade Tópico resolvido
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Jan 2020
15
13:28
Re: Desigualdade
Uma ideia simples até
[(a+b)²-2ab]/(a+b) = a+b - 2ab/(a+b)
a+b=y
f(y) := y - 2ab/y -y/2
f'(y) := 1 + 2ab*1/√y -1/2
f'(y) = 0
2ab/√y = -1/2
ab < 0 pois y > 0
Logo a+b - 2ab/(a+b) > (a+b)/2
[(a+b)²-2ab]/(a+b) = a+b - 2ab/(a+b)
a+b=y
f(y) := y - 2ab/y -y/2
f'(y) := 1 + 2ab*1/√y -1/2
f'(y) = 0
2ab/√y = -1/2
ab < 0 pois y > 0
Logo a+b - 2ab/(a+b) > (a+b)/2
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Jan 2020
15
13:45
Re: Desigualdade
Outro método mais rápido
2a²+2b² ≥ a²+b² +2ab
a²-2ab+b² ≥0
(a-b)²≥0
Chegando na mesma conclusão
2a²+2b² ≥ a²+b² +2ab
a²-2ab+b² ≥0
(a-b)²≥0
Chegando na mesma conclusão
Jan 2020
15
14:48
Re: Desigualdade
Obgda snooplammer
Última edição: Babi123 (Qua 15 Jan, 2020 14:49). Total de 1 vez.
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