Ensino Fundamental ⇒ Fração Tópico resolvido

[Lukinhas27]

Efetue e simplifique a fração, até torná-la irredutível:

[tex3](1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×...×(1-\frac{1}{99^2})×(1-\frac{1}{100^2}) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×...×(1-\frac{1}{99^2})×(1-\frac{1}{100^2}) [/tex3]

Tá difícil achar essa regularidade

Resposta

---

[tex3]101/200[/tex3[/spoiler]][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]101/200[/tex3[/spoiler]][/tex3]

[mcarvalho]

A equação é da forma:
[tex3](1-\frac{1}{n^2})(1-\frac{1}{(n+1)^2})(1-\frac{1}{(n+2)^2})...(1-\frac{1}{(n+98)^2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1-\frac{1}{n^2})(1-\frac{1}{(n+1)^2})(1-\frac{1}{(n+2)^2})...(1-\frac{1}{(n+98)^2})[/tex3]

Para n=2. Trabalhando a expressão, temos:
[tex3](\frac{n^2-1}{n^2})(\frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2})(\frac{(n+2)^2-1}{(n+2)^2})...(\frac{(n+98)^2-1}{(n+98)^2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\frac{n^2-1}{n^2})(\frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2})(\frac{(n+2)^2-1}{(n+2)^2})...(\frac{(n+98)^2-1}{(n+98)^2})[/tex3]

Perceba que o numerador de cada membro é um produto notável da soma pela diferença. Então:
[tex3](\frac{(n+1)(n-1)}{n^2})(\frac{((n+1)+1)((n+1)-1)}{(n+1)^2})...\\ \frac{(n+1)(n-1)}{n^2}.\frac{(n+2)(n)}{(n+1)^2}.\frac{(n+3)(n-1)}{(n+2)^2}...[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\frac{(n+1)(n-1)}{n^2})(\frac{((n+1)+1)((n+1)-1)}{(n+1)^2})...\\ \frac{(n+1)(n-1)}{n^2}.\frac{(n+2)(n)}{(n+1)^2}.\frac{(n+3)(n-1)}{(n+2)^2}...[/tex3]

Agora vem a parte da simplificação. É díficil de explicá-la por aqui, mas tente ver que, no final, sobrará apenas:
[tex3]\frac{(n-1)}{n}.\frac{(n+98+1)}{(n+98)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(n-1)}{n}.\frac{(n+98+1)}{(n+98)}[/tex3]

Como temos n=2, então, substituindo, chegamos, de fato, a 101/200.

Qualquer coisa que não tiver clara, só dizer.

[Lukinhas27]

A simplificação funciona como?


Foi onde eu parei

[mcarvalho]

Paramos aqui:
[tex3]\frac{(n+1)(n-1)}{n^2}.\frac{(n+2)(n)}{(n+1)^2}.\frac{(n+3)(n+1)}{(n+2)^2}...[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(n+1)(n-1)}{n^2}.\frac{(n+2)(n)}{(n+1)^2}.\frac{(n+3)(n+1)}{(n+2)^2}...[/tex3]

Cada "termo" da expressão tem a forma: [tex3]\frac{(n+p+1)(n+p-1)}{(n+p)(n+p)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(n+p+1)(n+p-1)}{(n+p)(n+p)}[/tex3]

, sendo [tex3]2\le p\le n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\le p\le n[/tex3]

.

Perceba que os termos dos tipos (n+p+1) e (n+p-1), do numerador, se anularão necessariamente com um termo do tipo (n+p), que é o único tipo de termo que está no denominador. Como temos dois termos (n+p) em cada fração, a conta fecha. Perceba ainda que o termo do tipo (n+p-1) se anulará com um termo do tipo (n+p) que já apareceu, isto é, que está em uma fração anterior. E, vice-versa, o termo do tipo (n+p+1) se anulará com um termo do tipo (n+p) que ainda não apareceu, isto é, que está em uma outra fração posterior.

[tex3]\frac{{\color{magenta}(n+1)}(n-1)}{{\color{red}n}.{\color{blue}n}}.\frac{({\color{green}n+2})({\color{red}n})}{({\color{magenta}n+1})({\color{yellow}n+1})}.\frac{({\color{cyan}n+3})({\color{yellow}n+1})}{{\color{green}(n+2)} (n+2)}\frac{(n+4)({\color{blue}n})}{({\color{cyan}n+3})(n+3)}...[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{{\color{magenta}(n+1)}(n-1)}{{\color{red}n}.{\color{blue}n}}.\frac{({\color{green}n+2})({\color{red}n})}{({\color{magenta}n+1})({\color{yellow}n+1})}.\frac{({\color{cyan}n+3})({\color{yellow}n+1})}{{\color{green}(n+2)} (n+2)}\frac{(n+4)({\color{blue}n})}{({\color{cyan}n+3})(n+3)}...[/tex3]