(Livro Fundamentos da Matemática Elementar)
A questão diz para eu determinar se é Verdadeiro ou Falso.
[tex3](A-B)∪(A∩B) = A[/tex3]
V ou F?
Ok, sabemos que: [tex3](A-B) = (x|x ∈ A ∧ x ∉ B)[/tex3]
Tambem sabemos que: [tex3](A∩B) = (x|x ∈ A ∧ x ∈ B) [/tex3]
ficando a sentença em expressões = [tex3](x|x ∈ A ∧ x ∉ B) ∪ (x|x ∈ A ∧ x ∈ B)[/tex3]
Verdadeiro ou Falso? Por que?, i need help.
Ensino Médio ⇒ (FME) Conjuntos Tópico resolvido
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Leandrovisk
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Jan 2020
12
21:01
(FME) Conjuntos
Editado pela última vez por caju em 13 Jan 2020, 22:35, em um total de 1 vez.
Razão: arrumar título.
Razão: arrumar título.
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deOliveira
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Jan 2020
12
21:39
Re: (FME) Conjuntos
Sejam [tex3]C[/tex3]
e [tex3]D[/tex3]
dois conjuntos. Temos que [tex3]C=D\iff C\subset D\ e\ D\subset C.[/tex3]
Seja [tex3]x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] . Temos então que [tex3]x\in(A-B)[/tex3] ou [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] .
Se [tex3]x\in(A-B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
Se [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
[tex3]\implies ((A-B)\cup(A∩B))\subset A[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
Seja [tex3]x\in A.[/tex3]
Temos que [tex3]x\in B[/tex3] ou [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Se [tex3]x\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A\cap B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
Se [tex3]x\not\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A-B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
[tex3]\implies A\subset((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] [tex3](II)[/tex3]
De [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] temos que:
[tex3](A-B)\cup(A∩B)=A[/tex3]
Espero ter ajudado
.
Seja [tex3]x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] . Temos então que [tex3]x\in(A-B)[/tex3] ou [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] .
Se [tex3]x\in(A-B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
Se [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
[tex3]\implies ((A-B)\cup(A∩B))\subset A[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
Seja [tex3]x\in A.[/tex3]
Temos que [tex3]x\in B[/tex3] ou [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Se [tex3]x\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A\cap B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
Se [tex3]x\not\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A-B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
[tex3]\implies A\subset((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] [tex3](II)[/tex3]
De [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] temos que:
[tex3](A-B)\cup(A∩B)=A[/tex3]
Espero ter ajudado
.Saudações.
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jeabud
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Jan 2020
12
23:49
Re: (FME) Conjuntos
Outra maneira!
A - B -> o que tem no conjunto A e n tem no conjunto B, elementos do conjunto A somente...
A interseção B = conjunto Vazio, pois a intersecção pega os elementos comuns, então, nesse caso n teria nenhum elemento em comum...
(A - B) U (A interseção B) = A
A U { } = A
Portanto Verdadeiro..
Não sei se está certo, mas pensei assim...
A - B -> o que tem no conjunto A e n tem no conjunto B, elementos do conjunto A somente...
A interseção B = conjunto Vazio, pois a intersecção pega os elementos comuns, então, nesse caso n teria nenhum elemento em comum...
(A - B) U (A interseção B) = A
A U { } = A
Portanto Verdadeiro..
Não sei se está certo, mas pensei assim...
Editado pela última vez por jeabud em 12 Jan 2020, 23:51, em um total de 2 vezes.
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deOliveira
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Jan 2020
13
00:07
Re: (FME) Conjuntos
Como você concluiu isso?
Não tem nada que leve até essa conclusão.
E pelo que eu entendi você chegou que (A-B)=A o que só é verdade se a interseção for vazia.
Saudações.
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Leandrovisk
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Jan 2020
13
00:14
Re: (FME) Conjuntos
Right, vamos analisar por partes, está meio confuso pra mim :/deOliveira escreveu: ↑12 Jan 2020, 21:39 Sejam [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] dois conjuntos. Temos que [tex3]C=D\iff C\subset D\ e\ D\subset C.[/tex3]
Seja [tex3]x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] . Temos então que [tex3]x\in(A-B)[/tex3] ou [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] .
Se [tex3]x\in(A-B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
Se [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
[tex3]\implies ((A-B)\cup(A∩B))\subset A[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
Seja [tex3]x\in A.[/tex3]
Temos que [tex3]x\in B[/tex3] ou [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Se [tex3]x\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A\cap B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
Se [tex3]x\not\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A-B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
[tex3]\implies A\subset((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] [tex3](II)[/tex3]
De [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] temos que:
[tex3](A-B)\cup(A∩B)=A[/tex3]
Espero ter ajudado
(I)
(A-B)∪(A∩B)
[x ∈ A ou x ∈ A]
x ∈ A --> 1° Case (A-B) (in A)
x ∈ A --> 2° Case (A∩B) (in A)
==> (A-B)∪(A∩B) ⊂ A
Isso quer dizer que você determinou que um x pertence a (A), certo? ai você analisou os casos que A se encontra (A-B) ou (A∩B)
blz então x pertence a A e isso quer dizer que a expressão é subconjunto de A
(II)
(A-B)∪(A∩B)
[x ∈ B ou x ∉ B]
x ∈ B --> 1° case (A∩B) (in B)
x ∉ B --> 2° case (A-B) (in -B)
Aqui nao entendi direito, você determinou que x pertence a B ai analisou os casos que se encontra em A inter B, depois A - B ( o B negativo), então X pertence a esse B, ou -B, isso eu entendi mas como que isso quer dizer que A ⊂ (A-B)∪(A∩B)?
Também tava com essa conclusão, mas isso só vai valer se B for complementar de A, sacou?jeabud escreveu: ↑12 Jan 2020, 23:49 Outra maneira!
A - B -> o que tem no conjunto A e n tem no conjunto B, elementos do conjunto A somente...
A interseção B = conjunto Vazio, pois a intersecção pega os elementos comuns, então, nesse caso n teria nenhum elemento em comum...
(A - B) U (A interseção B) = A
A U { } = A
Portanto Verdadeiro..
Não sei se está certo, mas pensei assim...
Pois se B tiver apenas 1 elemento que não esteja em comum com A, essa expressão não vale mais
look:
- Screen Shot 2020-01-13 at 22.36.39.png (41.63 KiB) Exibido 751 vezes
Editado pela última vez por caju em 13 Jan 2020, 22:37, em um total de 1 vez.
Razão: retirar imagem de servidores externos.
Razão: retirar imagem de servidores externos.
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snooplammer
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Jan 2020
13
00:17
Re: (FME) Conjuntos
[tex3]A-B=A\cap B'[/tex3]
[tex3](A \cap B')\cup(A \cap B)[/tex3]
Distributiva
[tex3](A \cap B'\cup A) \cup (A\cap B' \cup B)=A[/tex3]
[tex3](A \cap B')\cup(A \cap B)[/tex3]
Distributiva
[tex3](A \cap B'\cup A) \cup (A\cap B' \cup B)=A[/tex3]
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deOliveira
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Jan 2020
13
00:47
Re: (FME) Conjuntos
Leandrovisk, eu vou tentar explicar melhor cada passagem.
O que vamos usar são só as definições de interseção, união e diferença de conjuntos.
[tex3]C\cup D=\{x:x\in C\ ou\ x\in D\}[/tex3] e as outras duas você já as escreveu no post.
Pego um elemento [tex3]x[/tex3] arbitrário de [tex3](A-B)\cup(A∩B)[/tex3] , ou seja, [tex3]x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
A partir daqui eu tenho duas opções para o [tex3]x[/tex3] , [tex3]x\in(A-B)[/tex3] ou [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] .
Vamos analisar cada uma delas.
Se [tex3]x\in(A-B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Se [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]\in B[/tex3] .
Perceba que em qualquer um dos casos temos que [tex3]x\in A[/tex3] . Daí como [tex3]x[/tex3] foi escolhido de forma arbitrária temos que todo elemento do conjunto [tex3](A-B)\cup(A∩B)[/tex3] é também um elemento de [tex3]A[/tex3] e portanto podemos concluir que [tex3]((A-B)\cup(A∩B))\subset A[/tex3] .
Agora vamos pegar um elemento [tex3]x[/tex3] arbitrário de [tex3]A[/tex3] , ou seja, [tex3]x\in A[/tex3] .
Para qualquer elemento temos que ele pertence ou não a um conjunto. Então, temos que [tex3]x\in B[/tex3] ou [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Vamos analisar o que acontece em cada em dos casos.
Se [tex3]x\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]x\in B[/tex3] o que implica que [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] dessa forma, [tex3]x\in((A-B)\cup(A\cap B))[/tex3]
Se [tex3]x\not\in B[/tex3] temos que [tex3]x[/tex3] está em [tex3]A[/tex3] e não está em [tex3]B[/tex3] então [tex3]x\in(A-B)[/tex3] e portanto [tex3]x\in((A-B)\cup(A\cap B))[/tex3]
Daqui temos que qualquer que seja [tex3]x\in A[/tex3] ele também está em [tex3](A-B)\cup(A\cap B)[/tex3] , ou seja, todo elemento de [tex3]A[/tex3] também é elemento de [tex3](A-B)\cup(A\cap B)[/tex3] .
Espero ter ajudado.
Se ainda não estiver claro pergunte novamente que tento ajudá-lo.
O que vamos usar são só as definições de interseção, união e diferença de conjuntos.
[tex3]C\cup D=\{x:x\in C\ ou\ x\in D\}[/tex3] e as outras duas você já as escreveu no post.
Pego um elemento [tex3]x[/tex3] arbitrário de [tex3](A-B)\cup(A∩B)[/tex3] , ou seja, [tex3]x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
A partir daqui eu tenho duas opções para o [tex3]x[/tex3] , [tex3]x\in(A-B)[/tex3] ou [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] .
Vamos analisar cada uma delas.
Se [tex3]x\in(A-B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Se [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]\in B[/tex3] .
Perceba que em qualquer um dos casos temos que [tex3]x\in A[/tex3] . Daí como [tex3]x[/tex3] foi escolhido de forma arbitrária temos que todo elemento do conjunto [tex3](A-B)\cup(A∩B)[/tex3] é também um elemento de [tex3]A[/tex3] e portanto podemos concluir que [tex3]((A-B)\cup(A∩B))\subset A[/tex3] .
Agora vamos pegar um elemento [tex3]x[/tex3] arbitrário de [tex3]A[/tex3] , ou seja, [tex3]x\in A[/tex3] .
Para qualquer elemento temos que ele pertence ou não a um conjunto. Então, temos que [tex3]x\in B[/tex3] ou [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Vamos analisar o que acontece em cada em dos casos.
Se [tex3]x\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]x\in B[/tex3] o que implica que [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] dessa forma, [tex3]x\in((A-B)\cup(A\cap B))[/tex3]
Se [tex3]x\not\in B[/tex3] temos que [tex3]x[/tex3] está em [tex3]A[/tex3] e não está em [tex3]B[/tex3] então [tex3]x\in(A-B)[/tex3] e portanto [tex3]x\in((A-B)\cup(A\cap B))[/tex3]
Daqui temos que qualquer que seja [tex3]x\in A[/tex3] ele também está em [tex3](A-B)\cup(A\cap B)[/tex3] , ou seja, todo elemento de [tex3]A[/tex3] também é elemento de [tex3](A-B)\cup(A\cap B)[/tex3] .
Espero ter ajudado
.Se ainda não estiver claro pergunte novamente que tento ajudá-lo.
Saudações.
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ALANSILVA
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Jan 2020
13
00:51
Re: (FME) Conjuntos
deOliveira, Parabéns !!!
Mais explicado do que isso, difícil
Mais explicado do que isso, difícil
Editado pela última vez por ALANSILVA em 13 Jan 2020, 00:52, em um total de 1 vez.
No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)
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Loreto
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Jan 2020
13
01:12
Re: (FME) Conjuntos
Queremos mostrar que [tex3](A-B)\cup (A\cap B)[/tex3]
=[tex3]A[/tex3]
Observe que [tex3](A-B) = A [/tex3]
[tex3](A\cup (A\cap B) = (A\cup A) \cap (A\cup B) = A\cup (A\cap B) = A[/tex3]
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Observe que [tex3](A-B) = A [/tex3]
[tex3](A\cup (A\cap B) = (A\cup A) \cap (A\cup B) = A\cup (A\cap B) = A[/tex3]
Portanto, a afirmação é verdadeira.
-
deOliveira
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Jan 2020
13
01:24
Re: (FME) Conjuntos
Observe a imagem que o Leandrovisk colocou em sua resposta. (A-B) não é sempre igual a A.
- Screen Shot 2020-01-13 at 22.36.39.png (41.63 KiB) Exibido 748 vezes
Saudações.
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