(Livro Fundamentos da Matemática Elementar)
A questão diz para eu determinar se é Verdadeiro ou Falso.
[tex3](A-B)∪(A∩B) = A[/tex3]
V ou F?
Ok, sabemos que: [tex3](A-B) = (x|x ∈ A ∧ x ∉ B)[/tex3]
Tambem sabemos que: [tex3](A∩B) = (x|x ∈ A ∧ x ∈ B) [/tex3]
ficando a sentença em expressões = [tex3](x|x ∈ A ∧ x ∉ B) ∪ (x|x ∈ A ∧ x ∈ B)[/tex3]
Verdadeiro ou Falso? Por que?, i need help.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ (FME) Conjuntos Tópico resolvido
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Leandrovisk
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Jan 2020
12
21:01
(FME) Conjuntos
Editado pela última vez por caju em 13 Jan 2020, 22:35, em um total de 1 vez.
Razão: arrumar título.
Razão: arrumar título.
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deOliveira
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Jan 2020
12
21:39
Re: (FME) Conjuntos
Sejam [tex3]C[/tex3]
e [tex3]D[/tex3]
dois conjuntos. Temos que [tex3]C=D\iff C\subset D\ e\ D\subset C.[/tex3]
Seja [tex3]x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] . Temos então que [tex3]x\in(A-B)[/tex3] ou [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] .
Se [tex3]x\in(A-B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
Se [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
[tex3]\implies ((A-B)\cup(A∩B))\subset A[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
Seja [tex3]x\in A.[/tex3]
Temos que [tex3]x\in B[/tex3] ou [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Se [tex3]x\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A\cap B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
Se [tex3]x\not\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A-B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
[tex3]\implies A\subset((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] [tex3](II)[/tex3]
De [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] temos que:
[tex3](A-B)\cup(A∩B)=A[/tex3]
Espero ter ajudado
.
Seja [tex3]x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] . Temos então que [tex3]x\in(A-B)[/tex3] ou [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] .
Se [tex3]x\in(A-B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
Se [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
[tex3]\implies ((A-B)\cup(A∩B))\subset A[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
Seja [tex3]x\in A.[/tex3]
Temos que [tex3]x\in B[/tex3] ou [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Se [tex3]x\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A\cap B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
Se [tex3]x\not\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A-B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
[tex3]\implies A\subset((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] [tex3](II)[/tex3]
De [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] temos que:
[tex3](A-B)\cup(A∩B)=A[/tex3]
Espero ter ajudado
.Saudações.
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jeabud
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Jan 2020
12
23:49
Re: (FME) Conjuntos
Outra maneira!
A - B -> o que tem no conjunto A e n tem no conjunto B, elementos do conjunto A somente...
A interseção B = conjunto Vazio, pois a intersecção pega os elementos comuns, então, nesse caso n teria nenhum elemento em comum...
(A - B) U (A interseção B) = A
A U { } = A
Portanto Verdadeiro..
Não sei se está certo, mas pensei assim...
A - B -> o que tem no conjunto A e n tem no conjunto B, elementos do conjunto A somente...
A interseção B = conjunto Vazio, pois a intersecção pega os elementos comuns, então, nesse caso n teria nenhum elemento em comum...
(A - B) U (A interseção B) = A
A U { } = A
Portanto Verdadeiro..
Não sei se está certo, mas pensei assim...
Editado pela última vez por jeabud em 12 Jan 2020, 23:51, em um total de 2 vezes.
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deOliveira
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Jan 2020
13
00:07
Re: (FME) Conjuntos
Como você concluiu isso?
Não tem nada que leve até essa conclusão.
E pelo que eu entendi você chegou que (A-B)=A o que só é verdade se a interseção for vazia.
Saudações.
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Leandrovisk
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Jan 2020
13
00:14
Re: (FME) Conjuntos
Right, vamos analisar por partes, está meio confuso pra mim :/deOliveira escreveu: ↑12 Jan 2020, 21:39 Sejam [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] dois conjuntos. Temos que [tex3]C=D\iff C\subset D\ e\ D\subset C.[/tex3]
Seja [tex3]x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] . Temos então que [tex3]x\in(A-B)[/tex3] ou [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] .
Se [tex3]x\in(A-B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
Se [tex3]x\in (A\cap B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3]
[tex3]\implies ((A-B)\cup(A∩B))\subset A[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
Seja [tex3]x\in A.[/tex3]
Temos que [tex3]x\in B[/tex3] ou [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Se [tex3]x\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A\cap B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
Se [tex3]x\not\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in(A-B)\implies x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
[tex3]\implies A\subset((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] [tex3](II)[/tex3]
De [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3] temos que:
[tex3](A-B)\cup(A∩B)=A[/tex3]
Espero ter ajudado
(I)
(A-B)∪(A∩B)
[x ∈ A ou x ∈ A]
x ∈ A --> 1° Case (A-B) (in A)
x ∈ A --> 2° Case (A∩B) (in A)
==> (A-B)∪(A∩B) ⊂ A
Isso quer dizer que você determinou que um x pertence a (A), certo? ai você analisou os casos que A se encontra (A-B) ou (A∩B)
blz então x pertence a A e isso quer dizer que a expressão é subconjunto de A
(II)
(A-B)∪(A∩B)
[x ∈ B ou x ∉ B]
x ∈ B --> 1° case (A∩B) (in B)
x ∉ B --> 2° case (A-B) (in -B)
Aqui nao entendi direito, você determinou que x pertence a B ai analisou os casos que se encontra em A inter B, depois A - B ( o B negativo), então X pertence a esse B, ou -B, isso eu entendi mas como que isso quer dizer que A ⊂ (A-B)∪(A∩B)?
Também tava com essa conclusão, mas isso só vai valer se B for complementar de A, sacou?jeabud escreveu: ↑12 Jan 2020, 23:49 Outra maneira!
A - B -> o que tem no conjunto A e n tem no conjunto B, elementos do conjunto A somente...
A interseção B = conjunto Vazio, pois a intersecção pega os elementos comuns, então, nesse caso n teria nenhum elemento em comum...
(A - B) U (A interseção B) = A
A U { } = A
Portanto Verdadeiro..
Não sei se está certo, mas pensei assim...
Pois se B tiver apenas 1 elemento que não esteja em comum com A, essa expressão não vale mais
look:
- Screen Shot 2020-01-13 at 22.36.39.png (41.63 KiB) Exibido 749 vezes
Editado pela última vez por caju em 13 Jan 2020, 22:37, em um total de 1 vez.
Razão: retirar imagem de servidores externos.
Razão: retirar imagem de servidores externos.
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snooplammer
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Jan 2020
13
00:17
Re: (FME) Conjuntos
[tex3]A-B=A\cap B'[/tex3]
[tex3](A \cap B')\cup(A \cap B)[/tex3]
Distributiva
[tex3](A \cap B'\cup A) \cup (A\cap B' \cup B)=A[/tex3]
[tex3](A \cap B')\cup(A \cap B)[/tex3]
Distributiva
[tex3](A \cap B'\cup A) \cup (A\cap B' \cup B)=A[/tex3]
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deOliveira
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Jan 2020
13
00:47
Re: (FME) Conjuntos
Leandrovisk, eu vou tentar explicar melhor cada passagem.
O que vamos usar são só as definições de interseção, união e diferença de conjuntos.
[tex3]C\cup D=\{x:x\in C\ ou\ x\in D\}[/tex3] e as outras duas você já as escreveu no post.
Pego um elemento [tex3]x[/tex3] arbitrário de [tex3](A-B)\cup(A∩B)[/tex3] , ou seja, [tex3]x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
A partir daqui eu tenho duas opções para o [tex3]x[/tex3] , [tex3]x\in(A-B)[/tex3] ou [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] .
Vamos analisar cada uma delas.
Se [tex3]x\in(A-B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Se [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]\in B[/tex3] .
Perceba que em qualquer um dos casos temos que [tex3]x\in A[/tex3] . Daí como [tex3]x[/tex3] foi escolhido de forma arbitrária temos que todo elemento do conjunto [tex3](A-B)\cup(A∩B)[/tex3] é também um elemento de [tex3]A[/tex3] e portanto podemos concluir que [tex3]((A-B)\cup(A∩B))\subset A[/tex3] .
Agora vamos pegar um elemento [tex3]x[/tex3] arbitrário de [tex3]A[/tex3] , ou seja, [tex3]x\in A[/tex3] .
Para qualquer elemento temos que ele pertence ou não a um conjunto. Então, temos que [tex3]x\in B[/tex3] ou [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Vamos analisar o que acontece em cada em dos casos.
Se [tex3]x\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]x\in B[/tex3] o que implica que [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] dessa forma, [tex3]x\in((A-B)\cup(A\cap B))[/tex3]
Se [tex3]x\not\in B[/tex3] temos que [tex3]x[/tex3] está em [tex3]A[/tex3] e não está em [tex3]B[/tex3] então [tex3]x\in(A-B)[/tex3] e portanto [tex3]x\in((A-B)\cup(A\cap B))[/tex3]
Daqui temos que qualquer que seja [tex3]x\in A[/tex3] ele também está em [tex3](A-B)\cup(A\cap B)[/tex3] , ou seja, todo elemento de [tex3]A[/tex3] também é elemento de [tex3](A-B)\cup(A\cap B)[/tex3] .
Espero ter ajudado.
Se ainda não estiver claro pergunte novamente que tento ajudá-lo.
O que vamos usar são só as definições de interseção, união e diferença de conjuntos.
[tex3]C\cup D=\{x:x\in C\ ou\ x\in D\}[/tex3] e as outras duas você já as escreveu no post.
Pego um elemento [tex3]x[/tex3] arbitrário de [tex3](A-B)\cup(A∩B)[/tex3] , ou seja, [tex3]x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3] .
A partir daqui eu tenho duas opções para o [tex3]x[/tex3] , [tex3]x\in(A-B)[/tex3] ou [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] .
Vamos analisar cada uma delas.
Se [tex3]x\in(A-B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Se [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]\in B[/tex3] .
Perceba que em qualquer um dos casos temos que [tex3]x\in A[/tex3] . Daí como [tex3]x[/tex3] foi escolhido de forma arbitrária temos que todo elemento do conjunto [tex3](A-B)\cup(A∩B)[/tex3] é também um elemento de [tex3]A[/tex3] e portanto podemos concluir que [tex3]((A-B)\cup(A∩B))\subset A[/tex3] .
Agora vamos pegar um elemento [tex3]x[/tex3] arbitrário de [tex3]A[/tex3] , ou seja, [tex3]x\in A[/tex3] .
Para qualquer elemento temos que ele pertence ou não a um conjunto. Então, temos que [tex3]x\in B[/tex3] ou [tex3]x\not\in B[/tex3] .
Vamos analisar o que acontece em cada em dos casos.
Se [tex3]x\in B[/tex3] temos que [tex3]x\in A[/tex3] e [tex3]x\in B[/tex3] o que implica que [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3] dessa forma, [tex3]x\in((A-B)\cup(A\cap B))[/tex3]
Se [tex3]x\not\in B[/tex3] temos que [tex3]x[/tex3] está em [tex3]A[/tex3] e não está em [tex3]B[/tex3] então [tex3]x\in(A-B)[/tex3] e portanto [tex3]x\in((A-B)\cup(A\cap B))[/tex3]
Daqui temos que qualquer que seja [tex3]x\in A[/tex3] ele também está em [tex3](A-B)\cup(A\cap B)[/tex3] , ou seja, todo elemento de [tex3]A[/tex3] também é elemento de [tex3](A-B)\cup(A\cap B)[/tex3] .
Espero ter ajudado
.Se ainda não estiver claro pergunte novamente que tento ajudá-lo.
Saudações.
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ALANSILVA
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Jan 2020
13
00:51
Re: (FME) Conjuntos
deOliveira, Parabéns !!!
Mais explicado do que isso, difícil
Mais explicado do que isso, difícil
Editado pela última vez por ALANSILVA em 13 Jan 2020, 00:52, em um total de 1 vez.
No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)
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Loreto
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Jan 2020
13
01:12
Re: (FME) Conjuntos
Queremos mostrar que [tex3](A-B)\cup (A\cap B)[/tex3]
=[tex3]A[/tex3]
Observe que [tex3](A-B) = A [/tex3]
[tex3](A\cup (A\cap B) = (A\cup A) \cap (A\cup B) = A\cup (A\cap B) = A[/tex3]
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Observe que [tex3](A-B) = A [/tex3]
[tex3](A\cup (A\cap B) = (A\cup A) \cap (A\cup B) = A\cup (A\cap B) = A[/tex3]
Portanto, a afirmação é verdadeira.
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deOliveira
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Jan 2020
13
01:24
Re: (FME) Conjuntos
Observe a imagem que o Leandrovisk colocou em sua resposta. (A-B) não é sempre igual a A.
- Screen Shot 2020-01-13 at 22.36.39.png (41.63 KiB) Exibido 746 vezes
Saudações.
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