Ensino Médio ⇒ Equação irracional 6 Tópico resolvido

[jeabud]

sabendo q a e b são numeros reais e positivos, resolva
[tex3]\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}=\frac{b}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}=\frac{b}{a}[/tex3]

gab: b>a S = [tex3]\frac{2a²b}{a²+b²}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2a²b}{a²+b²}[/tex3]

condiçao de existencia: - a ≤ x ≤ a
travei de novo no final
x' = 0 (não serve) x'' = [tex3]\frac{2a²b}{a²+b²}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2a²b}{a²+b²}[/tex3]

- a ≤ x ≤ a
- a ≤ [tex3]\frac{2a²b}{a²+b²}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2a²b}{a²+b²}[/tex3]

≤ a
- 1 ≤ [tex3]\frac{2ab}{a²+b²}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2ab}{a²+b²}[/tex3]

≤ 1
- (a² + b²) ≤ 2ab ≤ a²+b²
travei aqui....n sei terminar e tb pq é b > a ????

[deOliveira]

O raciocínio para chegar em [tex3]b>a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b>a[/tex3]

é igual ao raciocínio de viewtopic.php?p=214491#p214491
[tex3]\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}>\sqrt{a+x}>\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}\\\implies\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}>\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}\\\implies\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}>1\\\implies\frac ba>1\\\therefore b>a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}>\sqrt{a+x}>\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}\\\implies\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}>\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}\\\implies\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}>1\\\implies\frac ba>1\\\therefore b>a[/tex3]

Espero ter ajudado .

[jeabud]

deOliveira, uma pergunta (idiota =|). Pq vc está fazendo dessa maneira a condição de existência? tipo isso? pq dessa maneira como surgiu isso? rs

A condição de existência para mim seria isso:

[tex3]\sqrt{x + a }>0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x + a }>0 [/tex3]

(pois embaixo não pode zero, por isso coloquei maior)

x > - a

[tex3]\sqrt{x - a }>0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x - a }>0 [/tex3]

(pois embaixo não pode zero, por isso coloquei maior)
x > a

fazendo a interseção, temos:
-a < x < a

como coloquei na postagem (resolvendo a equação) x = [tex3]\frac{2a^2{b}}{a²+b²}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2a^2{b}}{a²+b²}[/tex3]

substituindo na condição de existência...

-a < [tex3]\frac{2a^2{b}}{a²+b²}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2a^2{b}}{a²+b²}[/tex3]

< a
-1 < [tex3]\frac{2a{b}}{a²+b²}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2a{b}}{a²+b²}[/tex3]

< 1
-(a² + b²) < 2ab < a² + b²

[tex3]\begin{cases}
-(a²+b²) < 2ab (eq. I)
\\
a²+b² > 2ab (eq. II)
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
-(a²+b²) < 2ab (eq. I)
\\
a²+b² > 2ab (eq. II)
\end{cases}[/tex3]

Em I, temos:

-a² - b² - 2ab < 0
a² + b² + 2ab> 0
(a + b)^2 > 0

Em II, temos:
a² + b² - 2ab> 0
(a - b)^2 > 0

travei aqui na conclusão...
espero q dê pra entender minha duvida =D

Obg

[deOliveira]

É porque essa parte é a condição de existência que vai além de não deixar zerar o denominador e nem deixar com que o argumento da raiz seja negativo, então você vai ter de olhar para os resultados possíveis, nesses casos em que você tem um número desconhecido no resultado..
Repara que substituindo na condição de existência igual você fez não dá para concluir nada, porque [tex3](a-b)^2>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-b)^2>0[/tex3]

para todo [tex3]a\ne b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\ne b[/tex3]

.

[jeabud]

mas em exercício de equação irracional, sempre que tiver no denominador, duas ou mais variáveis, tenho q ''fazer daquela maneira o raciocínio" que demonstrou?

grato

[deOliveira]

Se sempre precisa eu não sei (eu diria que depende, mas eu não tenho uma grande experiência com exercícios de equação irracional pra afirmar com certeza '-'), mas nessas tem de fazer porque o resultado é uma fração [tex3]\frac ba[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac ba[/tex3]

em que você não sabe o valor de [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

e justamente o que você quer saber é quais são as condições que [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

devem cumprir para que a equação exista.

[jeabud]

deOliveira, obg pela ajuda =D