Se [tex3]0< a< b<1[/tex3]
, a série [tex3]a+b+a^2+b^2+a^3+b^3+...[/tex3]
é convergente.
Mostre que o teste de Cauchy conduz a este resultado mas o teste de d'Alambert é inconclusivo.
Exercício do livro Análise Real Volume 1, Elon Lages Lima
Ensino Superior ⇒ Análise Real- Teste de convergência Tópico resolvido
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deOliveira 
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undefinied3 
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Jan 2020
09
13:11
Re: Análise Real- Teste de convergência
Teste de cauchy -> Teste da raiz.
[tex3]\sqrt[n]{a_n}=\begin{cases}
\sqrt[n]{a^n}=a \\
\sqrt[n]{b^n}=b
\end{cases}[/tex3]
O lim para n infinito não existe, então analisamos o supremo, que é b. Como [tex3]b<1[/tex3] , a série converge.
Teste de d'Alambert -> Teste da razão.
A razão pode ser [tex3]\frac{b^n}{a^{n-1}}[/tex3] ou [tex3]\frac{a^n}{b^{n-1}}[/tex3] . Eu posso estar enganado, mas, quando o limite não existe, simplesmente não tem como aplicar o teste da razão. Ou ele também trabalhava com supremo e ínfimo?
[tex3]\sqrt[n]{a_n}=\begin{cases}
\sqrt[n]{a^n}=a \\
\sqrt[n]{b^n}=b
\end{cases}[/tex3]
O lim para n infinito não existe, então analisamos o supremo, que é b. Como [tex3]b<1[/tex3] , a série converge.
Teste de d'Alambert -> Teste da razão.
A razão pode ser [tex3]\frac{b^n}{a^{n-1}}[/tex3] ou [tex3]\frac{a^n}{b^{n-1}}[/tex3] . Eu posso estar enganado, mas, quando o limite não existe, simplesmente não tem como aplicar o teste da razão. Ou ele também trabalhava com supremo e ínfimo?
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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deOliveira
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Jan 2020
09
13:23
Re: Análise Real- Teste de convergência
Bom, o que está escrito aqui a respeito do teste de d'Alambert é o seguinte:
Seja [tex3]a_n\ne0[/tex3] para todo [tex3]n\in\mathbb N[/tex3] . Se existe uma constante [tex3]c[/tex3] tal que [tex3]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le c<1[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] suficientemente grande (em particular, se [tex3]\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1[/tex3] ) então a série [tex3]\sum a_n[/tex3] será absolutamente convergente.
Então a gente analisa o supremo? (Não sei, tô aprendendo agora)
Seja [tex3]a_n\ne0[/tex3] para todo [tex3]n\in\mathbb N[/tex3] . Se existe uma constante [tex3]c[/tex3] tal que [tex3]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le c<1[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] suficientemente grande (em particular, se [tex3]\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1[/tex3] ) então a série [tex3]\sum a_n[/tex3] será absolutamente convergente.
Então a gente analisa o supremo? (Não sei, tô aprendendo agora)
Última edição: deOliveira (Qui 09 Jan, 2020 14:37). Total de 1 vez.
Saudações.
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undefinied3
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Jan 2020
09
13:29
Re: Análise Real- Teste de convergência
Não, então o teste é inconclusivo mesmo. O limite nem mesmo existe para falarmos em < 1.
O teste da raiz é realmente mais forte porque ele analisa o supremo nesses casos que o limite não existe. O que eu quero dizer é que, em casos simples, basta analisar [tex3]\lim \sqrt[n]{a_n}[/tex3] , mas nesses casos que o limite não existe (por exemplo forçando uma série estranha, do tipo 0 quando n é múltiplo de 3 e [tex3]\frac{1}{n^2}[/tex3] quando não é), a validade do teste é mantida ao analisar [tex3]\lim sup \sqrt[n]{a_n}[/tex3] .
O teste da razão não tem essa "extensão" de analisar o supremo.
O teste da raiz é realmente mais forte porque ele analisa o supremo nesses casos que o limite não existe. O que eu quero dizer é que, em casos simples, basta analisar [tex3]\lim \sqrt[n]{a_n}[/tex3] , mas nesses casos que o limite não existe (por exemplo forçando uma série estranha, do tipo 0 quando n é múltiplo de 3 e [tex3]\frac{1}{n^2}[/tex3] quando não é), a validade do teste é mantida ao analisar [tex3]\lim sup \sqrt[n]{a_n}[/tex3] .
O teste da razão não tem essa "extensão" de analisar o supremo.
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deOliveira
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undefinied3
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Jan 2020
09
13:37
Re: Análise Real- Teste de convergência
Eu fiquei um pouco receoso de estar falando algo de errado porque demonstrei insegurança ali no primeiro post em relação ao teste da razão, e como você está vendo a matéria, queria ter certeza de não estar te prejudicando, mas tá certinho o que eu disse mesmo. O teste da razão é inconclusivo quando o limite não existe.
Só que tem que tomar bastante cuidado nesse tipo de questão que o autor não define o termo geral. Olha o exemplo nesse link:
https://math.stackexchange.com/question ... ratio-test
Aqui também poderíamos ter o mesmo problema. Se formos entender que o termo geral é [tex3]a^n+b^n[/tex3] e não [tex3]a^n[/tex3] pra n ímpar e [tex3]b^n[/tex3] para n par, acabamos mostrando que a série é convergente pelo teste da razão. Mas aí é problema do autor que não explicitou a série corretamente, pois são séries diferentes quando definimos por [tex3]a^n+b^n[/tex3] ou quando definimos do outro jeito mais complicado, apesar da soma ser a mesma.
Só que tem que tomar bastante cuidado nesse tipo de questão que o autor não define o termo geral. Olha o exemplo nesse link:
https://math.stackexchange.com/question ... ratio-test
Aqui também poderíamos ter o mesmo problema. Se formos entender que o termo geral é [tex3]a^n+b^n[/tex3] e não [tex3]a^n[/tex3] pra n ímpar e [tex3]b^n[/tex3] para n par, acabamos mostrando que a série é convergente pelo teste da razão. Mas aí é problema do autor que não explicitou a série corretamente, pois são séries diferentes quando definimos por [tex3]a^n+b^n[/tex3] ou quando definimos do outro jeito mais complicado, apesar da soma ser a mesma.
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