Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Tópico resolvido

[Angelita]

Calcule [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

, sendo [tex3]AB=2(BC)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB=2(BC)[/tex3]

.

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a) 23°
b) 20°
c) 24°
d) 18°
e) 16°

Resposta

---

a

[Babi123]

Vai jvmago

[jvmago]

Vai jvmago

EU VOU!!!!

[geobson]

.......up..............

[rodBR]

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Lei dos senos em [tex3]\Delta BDC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta BDC[/tex3]

:
[tex3]\frac{BC}{\sen(14º)}=\frac{DB}{\sen(\alpha)}\\
\boxed{BC=DB\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}} \ \ (i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{BC}{\sen(14º)}=\frac{DB}{\sen(\alpha)}\\
\boxed{BC=DB\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}} \ \ (i)[/tex3]

Razão trigonométrica cosseno em [tex3]\Delta HDB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta HDB[/tex3]

[tex3]\cos(14°+\alpha)=\frac{BH}{DB}\\
\boxed{BH=DB\cdot\cos(14°+\alpha)} \ \ (ii)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(14°+\alpha)=\frac{BH}{DB}\\
\boxed{BH=DB\cdot\cos(14°+\alpha)} \ \ (ii)[/tex3]

Lei dos Senos em [tex3]\Delta ADB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta ADB[/tex3]

:
[tex3]\frac{AD}{\sen(14+\alpha)}=\frac{DB}{\sen(53°)}\\
\boxed{AD=DB\cdot\frac{\sen(14°+\alpha)}{\sen(53°)}}\ \ (iii)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AD}{\sen(14+\alpha)}=\frac{DB}{\sen(53°)}\\
\boxed{AD=DB\cdot\frac{\sen(14°+\alpha)}{\sen(53°)}}\ \ (iii)[/tex3]

Razão trigonométrica Cosseno em [tex3]\Delta ADH[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta ADH[/tex3]

:
[tex3]\cos(53)=\frac{AH}{AD}\\
AH=AD\cdot\cos(53°)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(53)=\frac{AH}{AD}\\
AH=AD\cdot\cos(53°)[/tex3]

Substituindo [tex3](iii)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](iii)[/tex3]

, temos:
[tex3]\boxed{AH=DB\cdot\frac{\sen(14°+\alpha)}{\sen(53°)}\cdot\cos(53°)} \ \ (iv)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{AH=DB\cdot\frac{\sen(14°+\alpha)}{\sen(53°)}\cdot\cos(53°)} \ \ (iv)[/tex3]

Do enunciado:
[tex3]AB=2BC\\
AH+BH=2BC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB=2BC\\
AH+BH=2BC[/tex3]

Substituindo [tex3](i),(ii),(iv)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](i),(ii),(iv)[/tex3]

, segue:
[tex3]DB\cdot\frac{\sen(14°+\alpha)}{\sen(53°)}\cdot\cos(53°)+DB\cdot\cos(14°+\alpha)=2\cdot DB\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]DB\cdot\frac{\sen(14°+\alpha)}{\sen(53°)}\cdot\cos(53°)+DB\cdot\cos(14°+\alpha)=2\cdot DB\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}[/tex3]

Como [tex3]DB>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]DB>0[/tex3]

multiplique ambos os membros por [tex3]\frac{1}{DB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{DB}[/tex3]

:
[tex3]\frac{\sen(14°+\alpha)\cdot\cos(53°)}{\sen(53°)}+\cos(14°+\alpha)=2\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}\\
\frac{\sen(14°+\alpha)\cdot\cos(53°)+\sen(53°)\cdot\cos(14°+\alpha)}{\sen(53°)}=2\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sen(14°+\alpha)\cdot\cos(53°)}{\sen(53°)}+\cos(14°+\alpha)=2\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}\\
\frac{\sen(14°+\alpha)\cdot\cos(53°)+\sen(53°)\cdot\cos(14°+\alpha)}{\sen(53°)}=2\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}\\
[/tex3]

No numerador do lado esquerdo vamos utilizar que [tex3]\sen(A)\cdot\cos(B)+\sen(B)\cos(A)=\sen(A+B)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(A)\cdot\cos(B)+\sen(B)\cos(A)=\sen(A+B)[/tex3]

:
[tex3]\frac{\sen(14°+\alpha+53°)}{\sen(53°)}=2\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}\\
\frac{\sen(67°+\alpha)}{\sen(53°)}=2\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}\\
\sen(\alpha)\cdot\sen(67°+\alpha)=2\cdot \sen(14°)\cdot\sen(53°)\\
\boxed{\boxed{\sen(\alpha)\cdot\sen(67°+\alpha)\approx 0.3864}} \ \ (v)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sen(14°+\alpha+53°)}{\sen(53°)}=2\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}\\
\frac{\sen(67°+\alpha)}{\sen(53°)}=2\cdot \frac{\sen(14°)}{\sen(\alpha)}\\
\sen(\alpha)\cdot\sen(67°+\alpha)=2\cdot \sen(14°)\cdot\sen(53°)\\
\boxed{\boxed{\sen(\alpha)\cdot\sen(67°+\alpha)\approx 0.3864}} \ \ (v)[/tex3]

Segundo o Wolfram: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sen%2823%C2%B0%29 temos que [tex3]\sen(23°)\approx0,3907[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(23°)\approx0,3907[/tex3]

. Substituindo [tex3]\alpha=23°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha=23°[/tex3]

em [tex3](v)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](v)[/tex3]

, obtemos:
[tex3]\sen(23°)\cdot\sen(67°+23°)\\
\sen(23°)\cdot\sen(90°)\\
\sen(23°)\cdot1\\
\sen(23°)\approx0,3907[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(23°)\cdot\sen(67°+23°)\\
\sen(23°)\cdot\sen(90°)\\
\sen(23°)\cdot1\\
\sen(23°)\approx0,3907[/tex3]

Dentre as alternativas a única que mais se aproxima é a alternativa A [tex3]\alpha=23°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha=23°[/tex3]

.





Obs.: [tex3]14° \ e \ 53°[/tex3] são ângulos advindos, respectivamente, das proporções [tex3]k, \ 4k, \ k\sqrt{17}[/tex3] e 3k, 4k, 5k. [tex3]2\cdot \sen(14°)\cdot\sen(53°)\approx0,3864[/tex3]






att>>rodBR