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b)127°
c)137°
d)143°
e)150°
Resposta
a
IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido
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Flavio2020 
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Dez 2019
17
08:39
(Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Dado o gráfico,T é ponto de tangência e G é baricentro da região ABC,calcule a medido do arco MT.
a)120°
b)127°
c)137°
d)143°
e)150°
a
b)127°
c)137°
d)143°
e)150°
a
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Matheusrpb 
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Dez 2019
17
12:21
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
• Por Geometria Analítica:
• Tomando B como origem do plano cartesiano:
[tex3]\text{Raio das circunferências} = r[/tex3]
[tex3]M = (r,0)[/tex3]
[tex3]C = (2r,0) [/tex3]
[tex3]A = (0,y_A) [/tex3]
• Semicircunferência de centro em [tex3]M[/tex3] :
[tex3]\lambda_1: (x-r)^2 +y^2 = r^2[/tex3]
• Baricentro:
[tex3]x_G = \frac{ x_A + x_B +x_C}3 [/tex3]
[tex3]x_G = \frac{0 + 0 + 2r}3[/tex3]
[tex3]x_G = \frac{2r}3 [/tex3]
[tex3]G\in \lambda [/tex3]
[tex3](x_G -r)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{2r}3-r\)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\frac{r^2}9 + y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]y_G ^2= \frac{8r^2}9[/tex3]
[tex3]y_G = \frac{2r\sqrt 2}3[/tex3]
[tex3]\boxed{G = \(\frac{2r}3,\frac{2r\sqrt 2}3\) }[/tex3]
• Ponto A:
[tex3]y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}3[/tex3]
[tex3]\frac{2r\sqrt 2}3 = \frac{y_A +0+0}3 [/tex3]
[tex3]y_A = 2r\sqrt 2[/tex3]
[tex3]\boxed{A= \(0,2r\sqrt 2\)} [/tex3]
• Traçando os segmentos: [tex3]\overline{AM}\text{ e } \overline{GT} [/tex3]
[tex3]\text{Obs}_1: \overline{AM}[/tex3] passa por G, pois M é o ponto médio de [tex3]\overline{BC} [/tex3] .
[tex3]\text{Obs}_2: \measuredangle{ATG} = 90 ^\circ [/tex3] .
• Calculando [tex3]\overline{AG} [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = \frac{2\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{AM} = \frac{3\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\frac{3\overline{AG}}2}3[/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = 2\overline{GM} [/tex3]
[tex3]\boxed{\overline{AG} = 2r} [/tex3]
• Analisando o [tex3]∆AG T[/tex3] :
[tex3]\cos \alpha= \frac{\overline{GT}}{\overline{AG}} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha= \frac{r}{2r} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha = \frac 12 [/tex3]
[tex3]\boxed{ \alpha = 60 ^\circ }[/tex3]
• Arco [tex3]MT [/tex3] :
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ - \alpha[/tex3]
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ -60^\circ [/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\text{Arco } MT = 120^\circ}} [/tex3]
• Tomando B como origem do plano cartesiano:
[tex3]\text{Raio das circunferências} = r[/tex3]
[tex3]M = (r,0)[/tex3]
[tex3]C = (2r,0) [/tex3]
[tex3]A = (0,y_A) [/tex3]
• Semicircunferência de centro em [tex3]M[/tex3] :
[tex3]\lambda_1: (x-r)^2 +y^2 = r^2[/tex3]
• Baricentro:
[tex3]x_G = \frac{ x_A + x_B +x_C}3 [/tex3]
[tex3]x_G = \frac{0 + 0 + 2r}3[/tex3]
[tex3]x_G = \frac{2r}3 [/tex3]
[tex3]G\in \lambda [/tex3]
[tex3](x_G -r)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{2r}3-r\)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\frac{r^2}9 + y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]y_G ^2= \frac{8r^2}9[/tex3]
[tex3]y_G = \frac{2r\sqrt 2}3[/tex3]
[tex3]\boxed{G = \(\frac{2r}3,\frac{2r\sqrt 2}3\) }[/tex3]
• Ponto A:
[tex3]y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}3[/tex3]
[tex3]\frac{2r\sqrt 2}3 = \frac{y_A +0+0}3 [/tex3]
[tex3]y_A = 2r\sqrt 2[/tex3]
[tex3]\boxed{A= \(0,2r\sqrt 2\)} [/tex3]
• Traçando os segmentos: [tex3]\overline{AM}\text{ e } \overline{GT} [/tex3]
[tex3]\text{Obs}_1: \overline{AM}[/tex3] passa por G, pois M é o ponto médio de [tex3]\overline{BC} [/tex3] .
[tex3]\text{Obs}_2: \measuredangle{ATG} = 90 ^\circ [/tex3] .
• Calculando [tex3]\overline{AG} [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = \frac{2\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{AM} = \frac{3\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\frac{3\overline{AG}}2}3[/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = 2\overline{GM} [/tex3]
[tex3]\boxed{\overline{AG} = 2r} [/tex3]
• Analisando o [tex3]∆AG T[/tex3] :
[tex3]\cos \alpha= \frac{\overline{GT}}{\overline{AG}} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha= \frac{r}{2r} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha = \frac 12 [/tex3]
[tex3]\boxed{ \alpha = 60 ^\circ }[/tex3]
• Arco [tex3]MT [/tex3] :
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ - \alpha[/tex3]
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ -60^\circ [/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\text{Arco } MT = 120^\circ}} [/tex3]
Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?
-
LucasPettine 
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Dez 2019
17
12:33
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Ótima explicação. Sou péssimo em matemática, mas agora entendi sobre a questão. Obrigado.Matheusrpb escreveu: ↑Ter 17 Dez, 2019 12:21• Por Geometria Analítica:
• Tomando B como origem do plano cartesiano:
[tex3]\text{Raio das circunferências} = r[/tex3]
[tex3]M = (r,0)[/tex3]
[tex3]C = (2r,0) [/tex3]
[tex3]A = (0,y_A) [/tex3]
• Semicircunferência de centro em [tex3]M[/tex3] :
[tex3]\lambda_1: (x-r)^2 +y^2 = r^2[/tex3]
• Baricentro:
[tex3]x_G = \frac{ x_A + x_B +x_C}3 [/tex3]
[tex3]x_G = \frac{0 + 0 + 2r}3[/tex3]
[tex3]x_G = \frac{2r}3 [/tex3]
[tex3]G\in \lambda [/tex3]
[tex3](x_G -r)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{2r}3-r\)^2 +y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]\frac{r^2}9 + y_G^2 = r^2 [/tex3]
[tex3]y_G ^2= \frac{8r^2}9[/tex3]
[tex3]y_G = \frac{2r\sqrt 2}3[/tex3]
[tex3]\boxed{G = \(\frac{2r}3,\frac{2r\sqrt 2}3\) }[/tex3]
• Ponto A:
[tex3]y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}3[/tex3]
[tex3]\frac{2r\sqrt 2}3 = \frac{y_A +0+0}3 [/tex3]
[tex3]y_A = 2r\sqrt 2[/tex3]
[tex3]\boxed{A= \(0,2r\sqrt 2\)} [/tex3]
• Traçando os segmentos: [tex3]\overline{AM}\text{ e } \overline{GT} [/tex3]
[tex3]\text{Obs}_1: \overline{AM}[/tex3] passa por G, pois M é o ponto médio de [tex3]\overline{BC} [/tex3] .
[tex3]\text{Obs}_2: \measuredangle{ATG} = 90 ^\circ [/tex3] .
• Calculando [tex3]\overline{AG} [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = \frac{2\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{AM} = \frac{3\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AM}}3 [/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\frac{3\overline{AG}}2}3[/tex3]
[tex3]\overline{GM} = \frac{\overline{AG}}2 [/tex3]
[tex3]\overline{AG} = 2\overline{GM} [/tex3]
[tex3]\boxed{\overline{AG} = 2r} [/tex3]
• Analisando o [tex3]∆AG T[/tex3] :
[tex3]\cos \alpha= \frac{\overline{GT}}{\overline{AG}} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha= \frac{r}{2r} [/tex3]
[tex3]\cos\alpha = \frac 12 [/tex3]
[tex3]\boxed{ \alpha = 60 ^\circ }[/tex3]
• Arco [tex3]MT [/tex3] :
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ - \alpha[/tex3]
[tex3]\text{Arco } MT = 180^\circ -60^\circ [/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\text{Arco } MT = 120^\circ}} [/tex3]
meu fórum para quem quiser conhecer melhor: http://mundodocinema.forumeiros.com/
Dez 2019
17
16:14
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Legal Matheusrpb 
Só faltou o problema ter informado que [tex3]M[/tex3] é o centro do círculo de diâmetro BC (também não informado).
Penso q só essa "seta" tracejada "indicando" q é o raio não é suficiente.
Só faltou o problema ter informado que [tex3]M[/tex3] é o centro do círculo de diâmetro BC (também não informado).
Penso q só essa "seta" tracejada "indicando" q é o raio não é suficiente.
Dez 2019
17
17:47
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Uma segunda saída usando euclidiano. Por homotetia B,G,T são colineares e a circunferência de centro G contém B agora ACABOU
Note que BM=MG=BG=r portanto GbM=60
Por fim note também que TbM=60 e equivale a TgM/2
X=2*60=120°
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Note que BM=MG=BG=r portanto GbM=60
Por fim note também que TbM=60 e equivale a TgM/2
X=2*60=120°
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Última edição: jvmago (Ter 17 Dez, 2019 17:48). Total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
Matheusrpb
- Mensagens: 504
- Registrado em: Sex 09 Mar, 2018 17:55
- Última visita: 04-12-23
Dez 2019
17
18:16
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
jvmago está em outro patamar kkk.
Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?
Dez 2019
17
21:34
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Uma terceira Saída, Como G é baricentro do triangulo ABC, então AG=2GM
Como GM=r ENTÃO AG=2r
Notamos que GM=GT=r E que T é ponto de tangencia e portanto o triangulo AGT é notavel 30,60,90 tal que TgM= GaT+GtA=30+90=120
Como GM=r ENTÃO AG=2r
Notamos que GM=GT=r E que T é ponto de tangencia e portanto o triangulo AGT é notavel 30,60,90 tal que TgM= GaT+GtA=30+90=120
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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