Ensino Superior ⇒ Derivada satisfaz a equação Tópico resolvido

[Adonai]

[tex3]z=f(x-y,y-x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=f(x-y,y-x)[/tex3]

satisfaz a eq [tex3]\frac{dz}{dx}+\frac{dz}{dy}=0[/tex3]

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[tex3]\frac{dz}{dx}+\frac{dz}{dy}=0[/tex3]

?

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Fazendo u = x - y e v = y - x, temos que

[tex3]\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}.\frac{du}{dx}+\frac{df}{dv}.\frac{dv}{dx}=\frac{df}{du}.1+\frac{df}{dv}.(-1)[/tex3]

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[tex3]\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}.\frac{du}{dx}+\frac{df}{dv}.\frac{dv}{dx}=\frac{df}{du}.1+\frac{df}{dv}.(-1)[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}-\frac{df}{dv}[/tex3]

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[tex3]\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}-\frac{df}{dv}[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]\frac{df}{dy}=\frac{df}{du}.\frac{du}{dy}+\frac{df}{dv}.\frac{dv}{dy}=\frac{df}{du}.(-1)+\frac{df}{dv}.1[/tex3]

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[tex3]\frac{df}{dy}=\frac{df}{du}.\frac{du}{dy}+\frac{df}{dv}.\frac{dv}{dy}=\frac{df}{du}.(-1)+\frac{df}{dv}.1[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{df}{dy}=-\frac{df}{du}+\frac{df}{dv}[/tex3]

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[tex3]\frac{df}{dy}=-\frac{df}{du}+\frac{df}{dv}[/tex3]

Assim,

[tex3]\frac{dz}{dx}+\frac{dz}{dy}=\frac{df}{du}-\frac{df}{dv}-\frac{df}{du}+\frac{df}{dv}[/tex3]

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[tex3]\frac{dz}{dx}+\frac{dz}{dy}=\frac{df}{du}-\frac{df}{dv}-\frac{df}{du}+\frac{df}{dv}[/tex3]

Ou seja,

[tex3]\frac{dz}{dx}+\frac{dz}{dy}=0[/tex3]

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[tex3]\frac{dz}{dx}+\frac{dz}{dy}=0[/tex3]

Portanto, z = f( x - y , y - x ) satisfaz a equação [tex3]\frac{dz}{dx}+\frac{dz}{dy}=0[/tex3]

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[tex3]\frac{dz}{dx}+\frac{dz}{dy}=0[/tex3]

.



Bons estudos!