Ensino Superior ⇒ Integrais Duplas Tópico resolvido

[accibitinga]

O volume do sólido acima do parabolóide z=[tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3]

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[tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3]

-2x+1 e abaixo do plano z=4 é:
a)8 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

b)10 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

c)4 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

d)2 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

e)6 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Modo 1 ( coordenadas cartesianas ou retangulares ) :

De acordo com o enunciado , podemos escrever a integral dupla como ;

[tex3]V=\int\limits_{-1}^{3}\int\limits_{-\sqrt{4-(x-1)^2}}^{\sqrt{4-(x-1)^2}}[4-(x-1)^2-y^2] \ dydx=8πu.v.[/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{-1}^{3}\int\limits_{-\sqrt{4-(x-1)^2}}^{\sqrt{4-(x-1)^2}}[4-(x-1)^2-y^2] \ dydx=8πu.v.[/tex3]

Modo 2 ( coordenadas polares ):

Achando z isolando um dos lados da desigualdade ( x² + y² - 2x + 1 ≤ z ≤ 4 ) temos

z = 4 - x² - y² + 2x - 1 onde z = 3 - x² + 2x - y².

Obs. Fazendo z = 0 → [tex3]\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1[/tex3]

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[tex3]\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1[/tex3]

.


Como o conjunto nos permite a utilização de coordenadas polares, temos que

[tex3]\begin{cases}
x=1+2rcos(\theta ) \ , \ 0≤r≤1 \\
y=2rsen(\theta ) \ , \ 0≤\theta ≤2π
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x=1+2rcos(\theta ) \ , \ 0≤r≤1 \\
y=2rsen(\theta ) \ , \ 0≤\theta ≤2π
\end{cases}[/tex3]

Efetuando o cálculo do Jacobiano , você encontrará 4r,

Assim, o volume em coordenadas polares é dado por

[tex3]V=16.\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0
}^{1}(r-r^3) \ drd\theta =8π \ u.v.[/tex3]

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[tex3]V=16.\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0
}^{1}(r-r^3) \ drd\theta =8π \ u.v.[/tex3]

Omiti algumas passagens, para que você consiga desenvolver o restante do meu raciocínio

Nota

O esboço do gráfico ficará também como exercício para você



Bons estudos!