IME / ITA(Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Flavio2020
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Dez 2019 04 18:43

(Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

No gráfico, [tex3]M[/tex3] , [tex3]N[/tex3] , [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são pontos de tangência, [tex3]RA=BC[/tex3] , [tex3]AD=SB[/tex3] , [tex3]BT=DC[/tex3] e [tex3]CF=AB[/tex3] . Se [tex3]BD+AC=7[/tex3] , [tex3]a^2+b^2+c^2+d^2=65[/tex3] , calcule a distância entre os pontos médios das diagonais do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] .
bgb.PNG
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a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1,5
Resposta

e




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jvmago
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Dez 2019 04 20:58

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

seu gabarito está ERRADO!



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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jvmago
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Dez 2019 04 21:07

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

Ao som de GOGO

FAÇAMOS A SEGUINTE CONVEÇÃO:
[tex3]RM=m[/tex3] , [tex3]SB=n[/tex3] , [tex3]BT=l[/tex3] e [tex3]CF=t[/tex3]

Aplicando quatro potencias de ponto temos

[tex3]a^2=m^2+mn[/tex3]
[tex3]b^2=n^2+mn[/tex3]
[tex3]c^2=l^2+lt[/tex3]
[tex3]d^2=t^2+lt[/tex3]

somando as quatro equações e utilizando a primeira informacao dada

[tex3]65=m^2+n^2+l^2+t^2+2(mn+lt)[/tex3]

Sabemos que por propriedade fica valida a relação

[tex3]t^2+n^2+m^2+l^2=4x^2+AC^2+BD^2[/tex3] utilizando isso na equação anterior

[tex3]65=4x^2+AC^2+BD^2+2(mn+lt)[/tex3]

Repare agora que ABCD é inscritivel portanto por ptolomeu

[tex3]mn+lt=AC*BD[/tex3] substituindo isso na anterior
[tex3]65=4x^2+AC^2+2(AC*BD)+BD^2[/tex3]
[tex3]4x^2+(AC+BD)^2=65[/tex3]

Pela ultima informação
[tex3]4x^2+49=65[/tex3]
[tex3]x=2[/tex3]

[tex3]PIMBADA[/tex3]


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Babi123
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Babi123 »

Esse jv é mago. uhu o/



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Babi123
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Babi123 »

jvmago escreveu:
Qua 04 Dez, 2019 21:07
sabemos que por propriedade fica valida a relação
[tex3]t^2+n^2+m^2+l^2=4x^2+AC^2+BD^2[/tex3]
Como é o nome dessa relação/propriedade/teorema??



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jvmago
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

Babi123 escreveu:
Qua 04 Dez, 2019 21:52
jvmago escreveu:
Qua 04 Dez, 2019 21:07
sabemos que por propriedade fica valida a relação
[tex3]t^2+n^2+m^2+l^2=4x^2+AC^2+BD^2[/tex3]
Como é o nome dessa relação/propriedade/teorema??
não sei se tem um nome mas posso demonstra-lo aqui


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jvmago
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

Seja ABCD um quadrilátero QUALQUER e diagonais [tex3]AC,BD[/tex3]

Rubrique dois pontos[tex3]M,N[/tex3] nas diagonais tal que [tex3]BM=MD[/tex3] e [tex3]AN=NC[/tex3]

Tracemos [tex3]AM[/tex3] E [tex3]MC[/tex3] REPARE QUE [tex3]AM[/tex3] é mediana do triangulo [tex3]ABD[/tex3] assim como [tex3]MC[/tex3] é mediana do triangulo [tex3]BCD[/tex3] PORTANTO utilizando o teorema das medianas teremos

[tex3]AM^2+\frac{BD^2}{4}=\frac{AB^2+AD^2}{2}[/tex3]
[tex3]MC^2+\frac{BD^2}{4}=\frac{BC^2+DC^2}{2}[/tex3]

OLHE AGORA para o triangulo [tex3]AMC[/tex3] e note que [tex3]MN=x[/tex3] É MEDIANA portanto

[tex3]x^2+\frac{AC^2}{4}=\frac{AM^2+MC^2}{2}[/tex3]

somando as duas primeiras temos
[tex3]AM^2+MC^2=\frac{AB^2+BC^2+CD^2+AD^2-BD^2}{2}[/tex3] Usando isso na anterior

[tex3]x^2+\frac{AC^2}{4}=\frac{AB^2+BC^2+CD^2+AD^2-BD^2}{4}[/tex3] TAL QUE fica verificado
[tex3]4x^2+AD^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2[/tex3]


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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Babi123 escreveu:
Qua 04 Dez, 2019 21:52
jvmago escreveu:
Qua 04 Dez, 2019 21:07
sabemos que por propriedade fica valida a relação
[tex3]t^2+n^2+m^2+l^2=4x^2+AC^2+BD^2[/tex3]
Como é o nome dessa relação/propriedade/teorema??
Relação de Euler




Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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