Ensino Superior ⇒ Taxa de Variação Máxima Tópico resolvido

[thetruth]

Determine a taxa de variação máxima no ponto [tex3]p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p[/tex3]

e a direção em que isso ocorre


[tex3]f(x,y)=\frac{\ \ y^2}{x};\ p(2,4)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=\frac{\ \ y^2}{x};\ p(2,4)[/tex3]

[baltuilhe]

Boa noite!

Derivando parcialmente, teremos:
[tex3]f(x,y)=\dfrac{y^2}{x}\Rightarrow\begin{cases}\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}=-\dfrac{y^2}{x^2}\\
\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}=\dfrac{2y}{x}\\\end{cases}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=\dfrac{y^2}{x}\Rightarrow\begin{cases}\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}=-\dfrac{y^2}{x^2}\\
\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}=\dfrac{2y}{x}\\\end{cases}
[/tex3]

Calculando o gradiente:
[tex3]\nabla{f(x,y)}=\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}\;\vec{i}+\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}\;\vec{j}\Rightarrow\boxed{
\nabla{f(x,y)}=\left(-\dfrac{y^2}{x^2}\right)\vec{i}+\left(\dfrac{2y}{x}\right)\vec{j}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\nabla{f(x,y)}=\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}\;\vec{i}+\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}\;\vec{j}\Rightarrow\boxed{
\nabla{f(x,y)}=\left(-\dfrac{y^2}{x^2}\right)\vec{i}+\left(\dfrac{2y}{x}\right)\vec{j}}[/tex3]

Para o ponto [tex3]P(2,4)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(2,4)[/tex3]

dado:
[tex3]\nabla{f(2,4)}=\left(-\dfrac{4^2}{2^2}\right)\vec{i}+\left(\dfrac{2\cdot 4}{2}\right)\vec{j}\Rightarrow
\boxed{\nabla{f(2,4)}=-4\vec{i}+4\vec{j}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\nabla{f(2,4)}=\left(-\dfrac{4^2}{2^2}\right)\vec{i}+\left(\dfrac{2\cdot 4}{2}\right)\vec{j}\Rightarrow
\boxed{\nabla{f(2,4)}=-4\vec{i}+4\vec{j}}[/tex3]

A taxa de variação máxima, portanto:
[tex3]\|\nabla{f(2,4)}\|=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(4\right)^2}=\sqrt{16+16}\Rightarrow\boxed{\|\nabla{f(2,4)}\|=4\sqrt{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\|\nabla{f(2,4)}\|=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(4\right)^2}=\sqrt{16+16}\Rightarrow\boxed{\|\nabla{f(2,4)}\|=4\sqrt{2}}[/tex3]

Direção:
[tex3]\tan\theta=\dfrac{4}{-4}=-1\Rightarrow\boxed{\theta=135^{\circ}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tan\theta=\dfrac{4}{-4}=-1\Rightarrow\boxed{\theta=135^{\circ}}[/tex3]

Espero ter ajudado!

[thetruth]

[tex3]\tan\theta=\dfrac{4}{-4}=-1\Rightarrow\boxed{\theta=135^{\circ}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tan\theta=\dfrac{4}{-4}=-1\Rightarrow\boxed{\theta=135^{\circ}}[/tex3]

opa ajudou sim.

uma pergunta, esse 4/-4 é o resultado das derivadas parciais no ponto, mas porque eu divido um pelo outro??

[baltuilhe]

A direção calculei pelo ângulo do vetor em relação ao sistema oXY.

vect08.gif (2.36 KiB) Exibido 1658 vezes

Pode-se calcular o ângulo theta por:
[tex3]\tan\theta=\dfrac{b}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tan\theta=\dfrac{b}{a}[/tex3]

Foi o que fiz

[thetruth]

A direção calculei pelo ângulo do vetor em relação ao sistema oXY.
vect08.gif
Pode-se calcular o ângulo theta por:
[tex3]\tan\theta=\dfrac{b}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tan\theta=\dfrac{b}{a}[/tex3]

Foi o que fiz

entendi!!!

obrigado