Seja [tex3]b \in R[/tex3]
. Considere a função [tex3]f : R → R[/tex3]
definida por [tex3]f(x) = 2e^x + b[/tex3]
. O valor de [tex3]b[/tex3]
para que a imagem de [tex3]f[/tex3]
seja [tex3](1, +\infty)[/tex3]
pertence ao intervalo:
a) (−∞, −9)
b) [−9, −5)
c) [−5, −1)
d) [−1, 5)
e) [5,+∞)
O que me confundiu foi o e, já que ele é um número quebrado e pela derivada, ele não muda.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Imagem de uma função Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Deleted User 23841
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Dez 2019
02
20:07
Imagem de uma função
Editado pela última vez por caju em 02 Dez 2019, 20:33, em um total de 1 vez.
Razão: colocar tex nas expressões matemáticas.
Razão: colocar tex nas expressões matemáticas.
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Matheusrpb
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- Registrado em: 09 Mar 2018, 17:55
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Dez 2019
02
21:30
Re: Imagem de uma função
Giii, boa noite !
[tex3]f(x) = 2e^x +b[/tex3]
• O domínio da inversa de [tex3]f[/tex3] é igual à imagem de [tex3]f [/tex3] :
[tex3]y = 2e^x +b [/tex3]
[tex3]2e^x = y-b [/tex3]
[tex3]e^x = \frac{y-b}2 [/tex3]
[tex3]x = \ln \(\frac{y-b}2\) [/tex3]
[tex3]f(x)^{-1}= \ln\(\frac{x-b}2\)[/tex3]
• Analisando a função logarítmica:
[tex3]\log_b^a=c [/tex3]
[tex3]a>0 [/tex3]
• Assim, o domínio de [tex3]f^{-1} [/tex3] é:
[tex3]\frac{x-b}2 > 0[/tex3]
[tex3]x-b > 0[/tex3]
[tex3]x > b[/tex3]
• Logo:
[tex3]D(f^{-1}) = (b;+\infty)[/tex3]
[tex3]Im(f) = (b;+\infty)[/tex3]
• Para os intervalos coincidirem:
[tex3](b;+\infty) = (1;+\infty) [/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{b = 1}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{b\in [-1; 5)}} [/tex3]
[tex3]f(x) = 2e^x +b[/tex3]
• O domínio da inversa de [tex3]f[/tex3] é igual à imagem de [tex3]f [/tex3] :
[tex3]y = 2e^x +b [/tex3]
[tex3]2e^x = y-b [/tex3]
[tex3]e^x = \frac{y-b}2 [/tex3]
[tex3]x = \ln \(\frac{y-b}2\) [/tex3]
[tex3]f(x)^{-1}= \ln\(\frac{x-b}2\)[/tex3]
• Analisando a função logarítmica:
[tex3]\log_b^a=c [/tex3]
[tex3]a>0 [/tex3]
• Assim, o domínio de [tex3]f^{-1} [/tex3] é:
[tex3]\frac{x-b}2 > 0[/tex3]
[tex3]x-b > 0[/tex3]
[tex3]x > b[/tex3]
• Logo:
[tex3]D(f^{-1}) = (b;+\infty)[/tex3]
[tex3]Im(f) = (b;+\infty)[/tex3]
• Para os intervalos coincidirem:
[tex3](b;+\infty) = (1;+\infty) [/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{b = 1}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{b\in [-1; 5)}} [/tex3]
Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?
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csmarcelo
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Dez 2019
02
21:49
Re: Imagem de uma função
De outra forma
Se [tex3]a>1[/tex3] , [tex3]a^x[/tex3] é crescente e [tex3]\lim_{x\rightarrow+\infty}a^x=+\infty[/tex3] .
Além disso,
1) se [tex3]a>1[/tex3] , então [tex3]\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x=0[/tex3] .
2) [tex3]\lim_{x\rightarrow a}k=k[/tex3]
Como o limite da soma é a soma dos limites
[tex3]\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x+b=\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x+\lim_{x\rightarrow-\infty}b=0+b=b[/tex3]
Dessa forma, [tex3]a>1,b\in\mathbb{R}\rightarrow Im(a^x+b)=(b,+\infty)[/tex3] e a conclusão se torna óbvia.
Se [tex3]a>1[/tex3] , [tex3]a^x[/tex3] é crescente e [tex3]\lim_{x\rightarrow+\infty}a^x=+\infty[/tex3] .
Além disso,
1) se [tex3]a>1[/tex3] , então [tex3]\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x=0[/tex3] .
2) [tex3]\lim_{x\rightarrow a}k=k[/tex3]
Como o limite da soma é a soma dos limites
[tex3]\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x+b=\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x+\lim_{x\rightarrow-\infty}b=0+b=b[/tex3]
Dessa forma, [tex3]a>1,b\in\mathbb{R}\rightarrow Im(a^x+b)=(b,+\infty)[/tex3] e a conclusão se torna óbvia.
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