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b) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{8}[/tex3]
d) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{16}[/tex3]
e) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{6}[/tex3]
Resposta
c
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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IME / ITA ⇒ (Nível IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido
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Nov 2019
28
16:29
(Nível IME/ITA) Geometria Plana
Sabe-se que [tex3]ABE[/tex3]
e [tex3]BCD[/tex3]
são triângulos equiláteros. [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
são pontos médios de [tex3]AE[/tex3]
e [tex3]CD[/tex3]
. Calcule a área da região EMCN se AD=l e m<(ABC)=60°.
a) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{8}[/tex3]
d) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{16}[/tex3]
e) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{6}[/tex3]
c
a) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{8}[/tex3]
d) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{16}[/tex3]
e) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{6}[/tex3]
c
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joaopcarv
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Nov 2019
28
17:57
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Sejam [tex3]\mathsf{a}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{b}[/tex3]
os lados de [tex3]\mathsf{\triangle ABE}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{\triangle BCD}[/tex3]
, respectivamente. [tex3]\mathsf{\measuredangle{ABD} \ = \ \underbrace{\mathsf{\measuredangle{ABC}}}_{= \ 60^\circ} \ + \ \underbrace{\mathsf{\measuredangle{CBD}}}_{= \ 60^\circ} \ = \ 120^\circ.}[/tex3]
Pela lei do cosseno em [tex3]\mathsf{\triangle ABD}[/tex3] , tem-se: [tex3]\mathsf{(\overline{\underbrace{AD}_{(l)}})^2 \ = \ (\overline{\underbrace{AB}_{(a)}})^2 \ + \ (\overline{\underbrace{BD}_{(b)}})^2 \ - \ 2 \cdot (\overline{\underbrace{AB}_{(a)}}) \cdot (\overline{\underbrace{BD}_{(b)}}) \cdot \cos(\underbrace{\measuredangle{CBD}}_{= 120^\circ}):}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{l^2 \ = \ a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b}}[/tex3]
Agora, pelas áreas:
[tex3]\mathsf{A_{ACDE} \ = \ A_{\triangle ABE} \ + \ A_{\triangle ABC} \ + \ A _{\mathsf{\triangle BCD}}.}[/tex3]
Calculando as áreas:
[tex3]\mathsf{A_{\triangle ABE} \ = \ \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}, A_{\triangle BCD} \ = \ \dfrac{b^2 \cdot \sqrt{3}}{4}, A_{\triangle ABC}\ = \ \dfrac{a \cdot b \cdot \sen(60^\circ)}{2} \ = \ \dfrac{a\cdot b \cdot \sqrt{3}}{4}}[/tex3] .
Logo, a área total é:
[tex3]\mathsf{A_{ACDE} \ = \ \dfrac{\overbrace{(a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b)}^{l^2} \ \cdot \sqrt{3}}{4} \ = \ \boxed{\mathsf{\dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4}}}}[/tex3]
Vou resumir um pouco...
Pelas áreas:
[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ A_{\triangle EDN} \ - \ A_{\triangle ACM}.}[/tex3]
[tex3]\mathsf{A_{\triangle ACM} \ = \ \dfrac{(a\ + \ b) \cdot \ \frac{b}{2} \ \cdot \sen(60^\circ)}{2} \ = \ \dfrac{(a \ + \ b) \cdot b \cdot \sqrt{3}}{8}}[/tex3] .
Pela lei do cosseno em [tex3]\mathsf{\triangle ABD}[/tex3] , tem-se: [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b}}[/tex3] , e, além disso, sendo [tex3]\mathsf{\alpha \ = \ \measuredangle{BAC}, \cos(\alpha) \ = \ \dfrac{2\cdot a \ - \ b}{2 \cdot \ (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}[/tex3] .
Portanto, [tex3]\mathsf{\sen(\alpha) \ = \ \dfrac{\sqrt3 \cdot b}{2 \cdot \ (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}[/tex3] .
Temos então que [tex3]\mathsf{\sen(\measuredangle(\underbrace{EAB}_{= \ 60^\circ}) \ + \ \alpha) \ = \ \sen(60^\circ) \cdot \cos(\alpha) \ + \ \cos(60^\circ) \cdot \sen(\alpha) \ = \ \dfrac{\ a \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}.}[/tex3]
Logo:
[tex3]\mathsf{A_{\triangle EDN} \ = \ \dfrac{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b}) \cdot \ \frac{a}{2} \ \cdot \sen(60^\circ \ + \ \alpha)}{2} \ = \ \dfrac{\cancel{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})} \cdot \ a \ \cdot \frac{\ a \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \cancel{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}}{4} \ = \ \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}[/tex3]
Por fim, temos:
[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ \cancelto{\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}{A_{\triangle EDN}} \ - \ \cancelto{\frac{(a \ + \ b) \cdot b \cdot \sqrt{3}}{8}}{A_{\triangle ACM}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ \dfrac{\sqrt{3}}{8} \cdot \ \cancelto{l^2}{(a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b)}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}}}[/tex3]
Pela lei do cosseno em [tex3]\mathsf{\triangle ABD}[/tex3] , tem-se: [tex3]\mathsf{(\overline{\underbrace{AD}_{(l)}})^2 \ = \ (\overline{\underbrace{AB}_{(a)}})^2 \ + \ (\overline{\underbrace{BD}_{(b)}})^2 \ - \ 2 \cdot (\overline{\underbrace{AB}_{(a)}}) \cdot (\overline{\underbrace{BD}_{(b)}}) \cdot \cos(\underbrace{\measuredangle{CBD}}_{= 120^\circ}):}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{l^2 \ = \ a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b}}[/tex3]
Agora, pelas áreas:
[tex3]\mathsf{A_{ACDE} \ = \ A_{\triangle ABE} \ + \ A_{\triangle ABC} \ + \ A _{\mathsf{\triangle BCD}}.}[/tex3]
Calculando as áreas:
[tex3]\mathsf{A_{\triangle ABE} \ = \ \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}, A_{\triangle BCD} \ = \ \dfrac{b^2 \cdot \sqrt{3}}{4}, A_{\triangle ABC}\ = \ \dfrac{a \cdot b \cdot \sen(60^\circ)}{2} \ = \ \dfrac{a\cdot b \cdot \sqrt{3}}{4}}[/tex3] .
Logo, a área total é:
[tex3]\mathsf{A_{ACDE} \ = \ \dfrac{\overbrace{(a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b)}^{l^2} \ \cdot \sqrt{3}}{4} \ = \ \boxed{\mathsf{\dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4}}}}[/tex3]
Vou resumir um pouco...
Pelas áreas:
[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ A_{\triangle EDN} \ - \ A_{\triangle ACM}.}[/tex3]
[tex3]\mathsf{A_{\triangle ACM} \ = \ \dfrac{(a\ + \ b) \cdot \ \frac{b}{2} \ \cdot \sen(60^\circ)}{2} \ = \ \dfrac{(a \ + \ b) \cdot b \cdot \sqrt{3}}{8}}[/tex3] .
Pela lei do cosseno em [tex3]\mathsf{\triangle ABD}[/tex3] , tem-se: [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b}}[/tex3] , e, além disso, sendo [tex3]\mathsf{\alpha \ = \ \measuredangle{BAC}, \cos(\alpha) \ = \ \dfrac{2\cdot a \ - \ b}{2 \cdot \ (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}[/tex3] .
Portanto, [tex3]\mathsf{\sen(\alpha) \ = \ \dfrac{\sqrt3 \cdot b}{2 \cdot \ (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}[/tex3] .
Temos então que [tex3]\mathsf{\sen(\measuredangle(\underbrace{EAB}_{= \ 60^\circ}) \ + \ \alpha) \ = \ \sen(60^\circ) \cdot \cos(\alpha) \ + \ \cos(60^\circ) \cdot \sen(\alpha) \ = \ \dfrac{\ a \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}.}[/tex3]
Logo:
[tex3]\mathsf{A_{\triangle EDN} \ = \ \dfrac{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b}) \cdot \ \frac{a}{2} \ \cdot \sen(60^\circ \ + \ \alpha)}{2} \ = \ \dfrac{\cancel{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})} \cdot \ a \ \cdot \frac{\ a \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \cancel{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}}{4} \ = \ \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}[/tex3]
Por fim, temos:
[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ \cancelto{\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}{A_{\triangle EDN}} \ - \ \cancelto{\frac{(a \ + \ b) \cdot b \cdot \sqrt{3}}{8}}{A_{\triangle ACM}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ \dfrac{\sqrt{3}}{8} \cdot \ \cancelto{l^2}{(a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b)}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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jvmago
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Nov 2019
29
21:51
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Venho trazer uma segunda saída vale ressaltar que sua visão por trigonometria foi brilhante!
Vou usar as mesmas variáveis que você portanto [tex3]AB=a[/tex3] e [tex3]BC=b[/tex3]
Pela lei dos cossenos no Triângulo [tex3]ABD[/tex3] temos [tex3]l^2=a^2+b^2+ab[/tex3]
Agora vem o pulo do gato, como [tex3]AbE=AbC=BcD=60[/tex3] então [tex3]AB//CD[/tex3]
Prolongando [tex3]AE[/tex3] e [tex3]CD[/tex3]
até que se encontrem em um ponto [tex3]P[/tex3] temos que pelo paralelismo que [tex3]ABCP[/tex3] é um paralelogramo tal que [tex3]APC=60[/tex3] , [tex3]AP=b[/tex3] e [tex3]PC=a[/tex3]
Note também que o triângulo [tex3]DEP[/tex3] é equilátero e com isso matamos o problema pois
[tex3]S_x=x=S_{EDP}-S_{PMC}-S_{EDN}[/tex3]
[tex3]x=\frac{(a+b)^2\sqrt 3}{4}-\frac{a(2b+a)\sqrt 3}{4*2}-\frac{b(a+b)\sqrt 3}{4*2}[/tex3]
Simplificando isso temos
[tex3]x=\frac{\sqrt 3(a²+b²+ab)}{8}[/tex3]
[tex3]x=\frac{l^2\sqrt 3}{8}[/tex3]
PIMBADA
Vou usar as mesmas variáveis que você portanto [tex3]AB=a[/tex3] e [tex3]BC=b[/tex3]
Pela lei dos cossenos no Triângulo [tex3]ABD[/tex3] temos [tex3]l^2=a^2+b^2+ab[/tex3]
Agora vem o pulo do gato, como [tex3]AbE=AbC=BcD=60[/tex3] então [tex3]AB//CD[/tex3]
Prolongando [tex3]AE[/tex3] e [tex3]CD[/tex3]
até que se encontrem em um ponto [tex3]P[/tex3] temos que pelo paralelismo que [tex3]ABCP[/tex3] é um paralelogramo tal que [tex3]APC=60[/tex3] , [tex3]AP=b[/tex3] e [tex3]PC=a[/tex3]
Note também que o triângulo [tex3]DEP[/tex3] é equilátero e com isso matamos o problema pois
[tex3]S_x=x=S_{EDP}-S_{PMC}-S_{EDN}[/tex3]
[tex3]x=\frac{(a+b)^2\sqrt 3}{4}-\frac{a(2b+a)\sqrt 3}{4*2}-\frac{b(a+b)\sqrt 3}{4*2}[/tex3]
Simplificando isso temos
[tex3]x=\frac{\sqrt 3(a²+b²+ab)}{8}[/tex3]
[tex3]x=\frac{l^2\sqrt 3}{8}[/tex3]
PIMBADA
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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joaopcarv
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Dez 2019
07
13:42
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
jvmago, desculpe a demora... e genial a sua resolução, você tem uma visão geométrica incrível!! Essa foi a forma "elegante" de se resolver 
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
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jvmago
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Dez 2019
07
14:57
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
É muito peruano do diabo no currículum
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.