IME / ITA(Nível IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Flavio2020
Imperial
Mensagens: 666
Registrado em: Seg 06 Fev, 2017 16:29
Última visita: 26-11-20
Localização: CACEQUI RS
Nov 2019 28 16:29

(Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

Sabe-se que [tex3]ABE[/tex3] e [tex3]BCD[/tex3] são triângulos equiláteros. [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] são pontos médios de [tex3]AE[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] . Calcule a área da região EMCN se AD=l e m<(ABC)=60°.
vv9.PNG
vv9.PNG (17.4 KiB) Exibido 639 vezes
a) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{8}[/tex3]
d) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{16}[/tex3]
e) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{6}[/tex3]
Resposta

c




Avatar do usuário
joaopcarv
3 - Destaque
Mensagens: 361
Registrado em: Ter 18 Out, 2016 21:11
Última visita: 15-11-20
Nov 2019 28 17:57

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por joaopcarv »

Sejam [tex3]\mathsf{a}[/tex3] e [tex3]\mathsf{b}[/tex3] os lados de [tex3]\mathsf{\triangle ABE}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\triangle BCD}[/tex3] , respectivamente. [tex3]\mathsf{\measuredangle{ABD} \ = \ \underbrace{\mathsf{\measuredangle{ABC}}}_{= \ 60^\circ} \ + \ \underbrace{\mathsf{\measuredangle{CBD}}}_{= \ 60^\circ} \ = \ 120^\circ.}[/tex3]

Pela lei do cosseno em [tex3]\mathsf{\triangle ABD}[/tex3] , tem-se: [tex3]\mathsf{(\overline{\underbrace{AD}_{(l)}})^2 \ = \ (\overline{\underbrace{AB}_{(a)}})^2 \ + \ (\overline{\underbrace{BD}_{(b)}})^2 \ - \ 2 \cdot (\overline{\underbrace{AB}_{(a)}}) \cdot (\overline{\underbrace{BD}_{(b)}}) \cdot \cos(\underbrace{\measuredangle{CBD}}_{= 120^\circ}):}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{l^2 \ = \ a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b}}[/tex3]

Agora, pelas áreas:

[tex3]\mathsf{A_{ACDE} \ = \ A_{\triangle ABE} \ + \ A_{\triangle ABC} \ + \ A _{\mathsf{\triangle BCD}}.}[/tex3]

Calculando as áreas:
[tex3]\mathsf{A_{\triangle ABE} \ = \ \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}, A_{\triangle BCD} \ = \ \dfrac{b^2 \cdot \sqrt{3}}{4}, A_{\triangle ABC}\ = \ \dfrac{a \cdot b \cdot \sen(60^\circ)}{2} \ = \ \dfrac{a\cdot b \cdot \sqrt{3}}{4}}[/tex3] .

Logo, a área total é:
[tex3]\mathsf{A_{ACDE} \ = \ \dfrac{\overbrace{(a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b)}^{l^2} \ \cdot \sqrt{3}}{4} \ = \ \boxed{\mathsf{\dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4}}}}[/tex3]

Vou resumir um pouco...

Pelas áreas:
[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ A_{\triangle EDN} \ - \ A_{\triangle ACM}.}[/tex3]

[tex3]\mathsf{A_{\triangle ACM} \ = \ \dfrac{(a\ + \ b) \cdot \ \frac{b}{2} \ \cdot \sen(60^\circ)}{2} \ = \ \dfrac{(a \ + \ b) \cdot b \cdot \sqrt{3}}{8}}[/tex3] .

Pela lei do cosseno em [tex3]\mathsf{\triangle ABD}[/tex3] , tem-se: [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b}}[/tex3] , e, além disso, sendo [tex3]\mathsf{\alpha \ = \ \measuredangle{BAC}, \cos(\alpha) \ = \ \dfrac{2\cdot a \ - \ b}{2 \cdot \ (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}[/tex3] .

Portanto, [tex3]\mathsf{\sen(\alpha) \ = \ \dfrac{\sqrt3 \cdot b}{2 \cdot \ (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}[/tex3] .

Temos então que [tex3]\mathsf{\sen(\measuredangle(\underbrace{EAB}_{= \ 60^\circ}) \ + \ \alpha) \ = \ \sen(60^\circ) \cdot \cos(\alpha) \ + \ \cos(60^\circ) \cdot \sen(\alpha) \ = \ \dfrac{\ a \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}.}[/tex3]

Logo:
[tex3]\mathsf{A_{\triangle EDN} \ = \ \dfrac{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b}) \cdot \ \frac{a}{2} \ \cdot \sen(60^\circ \ + \ \alpha)}{2} \ = \ \dfrac{\cancel{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})} \cdot \ a \ \cdot \frac{\ a \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \cancel{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}}{4} \ = \ \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}[/tex3]

Por fim, temos:

[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ \cancelto{\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}{A_{\triangle EDN}} \ - \ \cancelto{\frac{(a \ + \ b) \cdot b \cdot \sqrt{3}}{8}}{A_{\triangle ACM}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ \dfrac{\sqrt{3}}{8} \cdot \ \cancelto{l^2}{(a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b)}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}}}[/tex3]



"That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all."
Poli-USP
04/10/2017 Jn S2

Avatar do usuário
jvmago
5 - Mestre
Mensagens: 2282
Registrado em: Qui 06 Jul, 2017 14:54
Última visita: 29-11-20
Nov 2019 29 21:51

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

Venho trazer uma segunda saída vale ressaltar que sua visão por trigonometria foi brilhante!

Vou usar as mesmas variáveis que você portanto [tex3]AB=a[/tex3] e [tex3]BC=b[/tex3]

Pela lei dos cossenos no Triângulo [tex3]ABD[/tex3] temos [tex3]l^2=a^2+b^2+ab[/tex3]

Agora vem o pulo do gato, como [tex3]AbE=AbC=BcD=60[/tex3] então [tex3]AB//CD[/tex3]

Prolongando [tex3]AE[/tex3] e [tex3]CD[/tex3]
até que se encontrem em um ponto [tex3]P[/tex3] temos que pelo paralelismo que [tex3]ABCP[/tex3] é um paralelogramo tal que [tex3]APC=60[/tex3] , [tex3]AP=b[/tex3] e [tex3]PC=a[/tex3]

Note também que o triângulo [tex3]DEP[/tex3] é equilátero e com isso matamos o problema pois

[tex3]S_x=x=S_{EDP}-S_{PMC}-S_{EDN}[/tex3]

[tex3]x=\frac{(a+b)^2\sqrt 3}{4}-\frac{a(2b+a)\sqrt 3}{4*2}-\frac{b(a+b)\sqrt 3}{4*2}[/tex3]
Simplificando isso temos

[tex3]x=\frac{\sqrt 3(a²+b²+ab)}{8}[/tex3]
[tex3]x=\frac{l^2\sqrt 3}{8}[/tex3]

PIMBADA


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Avatar do usuário
joaopcarv
3 - Destaque
Mensagens: 361
Registrado em: Ter 18 Out, 2016 21:11
Última visita: 15-11-20
Dez 2019 07 13:42

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por joaopcarv »

jvmago, desculpe a demora... e genial a sua resolução, você tem uma visão geométrica incrível!! Essa foi a forma "elegante" de se resolver :D


"That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all."
Poli-USP
04/10/2017 Jn S2

Avatar do usuário
jvmago
5 - Mestre
Mensagens: 2282
Registrado em: Qui 06 Jul, 2017 14:54
Última visita: 29-11-20
Dez 2019 07 14:57

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

joaopcarv escreveu:
Sáb 07 Dez, 2019 13:42
jvmago, desculpe a demora... e genial a sua resolução, você tem uma visão geométrica incrível!! Essa foi a forma "elegante" de se resolver :D
É muito peruano do diabo no currículum :lol::lol:



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “IME / ITA”