Ensino Superior ⇒ Continuidade no ponto Tópico resolvido

[Adonai]

Verifique se a função é contínua no ponto P(1,1)
f(x,y) =
{[tex3]\frac{x^{2}-yx}{x^{2}-y^{2}};x=\pm y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^{2}-yx}{x^{2}-y^{2}};x=\pm y[/tex3]

{[tex3]\frac{1}{4}(x+y) ; x=\pm y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}(x+y) ; x=\pm y[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^2-yx}{x^2-y^2} \ , \ x≠±y\\
\\
\frac{1}{4}(x+y) \ , \ x=±y
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^2-yx}{x^2-y^2} \ , \ x≠±y\\
\\
\frac{1}{4}(x+y) \ , \ x=±y
\end{cases}[/tex3]

Verificação:

Quando x ≠ y , temos:

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (1,1)}f(x,y)= [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (1,1)}f(x,y)= [/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (1,1)}\frac{x.\cancel{(x-y)}}{\cancel{(x-y)}.(x+y)}= [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (1,1)}\frac{x.\cancel{(x-y)}}{\cancel{(x-y)}.(x+y)}= [/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (1,1)}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{2}=f(1,1) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (1,1)}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{2}=f(1,1) [/tex3]

ok!


Quando x = y, temos:

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (1,1)}f(x,y)= [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (1,1)}f(x,y)= [/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (1,1)}\frac{1}{4}(x+y)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} =f(1,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (1,1)}\frac{1}{4}(x+y)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} =f(1,1)[/tex3]

, ok!


Portanto, a função é contínua no ponto P( 1 , 1 ). C.q.v.




Bons estudos!