Ensino Médio ⇒ Geometria

[Jonassala]

Olá, boa noite! Alguém poderia me ajudar com esta questão? Estou preso nela há um bom tempo huwshauhs

A figura à direita mostra um quadrado que tem lado igual a 1. É CORRETO afirmar que a área do triângulo ACD é:

Screen Shot 2019-11-15 at 09.26.42.png (26.69 KiB) Exibido 532 vezes

Resposta

---

a resposta é a letra b

[lookez]

Atente às regras do fórum, o enunciado deve ser digitado pois mecanismos de busca não conseguem ler o enunciado de sua imagem.

square.jpeg (21.47 KiB) Exibido 552 vezes

[tex3]4\alpha[/tex3]

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[tex3]4\alpha[/tex3]

é o ângulo reto do quadrado, então [tex3]\alpha=\frac{90\degree}{4}[/tex3]

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[tex3]\alpha=\frac{90\degree}{4}[/tex3]

No [tex3]\triangle ABC[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC[/tex3]

sabemos que [tex3]\overline{AB}=1[/tex3]

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[tex3]\overline{AB}=1[/tex3]

, então por trigonometria:
[tex3]\tan\left(\frac{90\degree}{4}\right)=\frac{\overline{BC}}{1}\rightarrow\overline{BC}=\sqrt2-1[/tex3]

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[tex3]\tan\left(\frac{90\degree}{4}\right)=\frac{\overline{BC}}{1}\rightarrow\overline{BC}=\sqrt2-1[/tex3]

Como [tex3]\overline{BD}=1[/tex3]

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[tex3]\overline{BD}=1[/tex3]

, encontramos [tex3]\overline{CD}=1-\overline{BC}=2-\sqrt2[/tex3]

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[tex3]\overline{CD}=1-\overline{BC}=2-\sqrt2[/tex3]

Sabemos também que [tex3]\overline{AD}=1\cdot\sqrt2[/tex3]

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[tex3]\overline{AD}=1\cdot\sqrt2[/tex3]

pois é a diagonal do quadrado.

O ângulo [tex3]\angle ADB[/tex3]

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[tex3]\angle ADB[/tex3]

é o ângulo entre a diagonal do quadrado e seu lado, sabemos que vale [tex3]45\degree[/tex3]

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[tex3]45\degree[/tex3]

. Como já temos dois lados do [tex3]\triangle ACD[/tex3]

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[tex3]\triangle ACD[/tex3]

e o ângulo entre eles vamos usar a fórmula de área do triângulo [tex3]A=\frac{a\cdot b\cdot\sen\theta}{2}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{a\cdot b\cdot\sen\theta}{2}[/tex3]

:

[tex3]A_{\triangle ACD}=\frac{\sqrt2\cdot(2-\sqrt2)\cdot\sen(45\degree)}{2}=\boxed{\frac{2-\sqrt2}{2}}[/tex3]

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[tex3]A_{\triangle ACD}=\frac{\sqrt2\cdot(2-\sqrt2)\cdot\sen(45\degree)}{2}=\boxed{\frac{2-\sqrt2}{2}}[/tex3]

Não sei por que seu gabarito deixou na forma desracionalizada [tex3]\frac{\sqrt2}{2(1+\sqrt2)}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt2}{2(1+\sqrt2)}[/tex3]

, mas o resultado é equivalente.

[Jonassala]

Muito obrigado! E me desculpa pelo erro, ficarei mais atento nas próximas postagens.

Eu só não entendi uma parte da resolução. Você saberia me explicar como encontrou a tangente de 90/4?

[lookez]

Você saberia me explicar como encontrou a tangente de 90/4?

Geralmente em cursinho o pessoal decora, mas você pode calcular usando a fórmula de arco metade:
[tex3]tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}[/tex3]

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[tex3]tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}[/tex3]

[tex3]\therefore\tan\left(\frac{90\degree}{4}\right)=\tan\left(\frac{45\degree}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos45\degree}{1+\cos45\degree}}=[/tex3]

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[tex3]\therefore\tan\left(\frac{90\degree}{4}\right)=\tan\left(\frac{45\degree}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos45\degree}{1+\cos45\degree}}=[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}\cdot\frac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}}=[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}\cdot\frac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}}=[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{(2-\sqrt2)^2}{2}}=\frac{2-\sqrt2}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2-2}{2}=\boxed{\sqrt2-1}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{(2-\sqrt2)^2}{2}}=\frac{2-\sqrt2}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2-2}{2}=\boxed{\sqrt2-1}[/tex3]

[Jonassala]

Você saberia me explicar como encontrou a tangente de 90/4?

Geralmente em cursinho o pessoal decora, mas você pode calcular usando a fórmula de arco metade:
[tex3]tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}[/tex3]

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[tex3]tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}[/tex3]

[tex3]\therefore\tan\left(\frac{90\degree}{4}\right)=\tan\left(\frac{45\degree}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos45\degree}{1+\cos45\degree}}=[/tex3]

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[tex3]\therefore\tan\left(\frac{90\degree}{4}\right)=\tan\left(\frac{45\degree}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos45\degree}{1+\cos45\degree}}=[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}\cdot\frac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}}=[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}\cdot\frac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}}=[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{(2-\sqrt2)^2}{2}}=\frac{2-\sqrt2}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2-2}{2}=\boxed{\sqrt2-1}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{(2-\sqrt2)^2}{2}}=\frac{2-\sqrt2}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2-2}{2}=\boxed{\sqrt2-1}[/tex3]

Muito obrigado!