IME / ITA

08 Nov 2019, 10:36

Das soluções inteiras positivas de x + y + z + w = 26, quantas satisfazem x > y?

Resposta

1078

Gostaria que conferissem o gabarito, pois tenho dúvida de que seja, na verdade, 1052.
Gostaria também de saber se vocês conhecem algum outro método de resolução que nao seja listar os casos x = y, subtrair do total de casos possíveis e dividir por 2. Creio que esse método já seria muito trabalhoso se eu tivesse, por exemplo, 3 ou 4 incognitas além de x e y.

Mensagem não lidapor **MateusQqMD** » 08 Nov 2019, 11:27 · Mensagem não lida por **MateusQqMD** » 08 Nov 2019, 11:27

Contemos o número de soluções em que [tex3]x = y.[/tex3] Se [tex3]x = y,[/tex3] a equação se transforma em [tex3]2x + z + w = 26.[/tex3] Se [tex3]x = 0,[/tex3] a equação se transforma em [tex3]z + w = 26,[/tex3] que possui [tex3]27[/tex3] soluções; se [tex3]x = 1,[/tex3] a equação se transforma em [tex3]z + w = 24,[/tex3] que possui [tex3]25[/tex3] soluções; se [tex3]x = 2,[/tex3] a equação se transforma em [tex3]z + w = 22,[/tex3] que possui 23 soluções; ... ; se [tex3]x = 13,[/tex3] a equação se transforma em [tex3]z + w = 0,[/tex3] que possui [tex3]1[/tex3] solução. O número de soluções em que [tex3]x = y[/tex3] é [tex3]27 + 25 + 23 + 21 + ... + 1 = 378.[/tex3] O total de soluções de [tex3]x + y + z + w = 26[/tex3] é [tex3]3654.[/tex3] Portanto, há [tex3]3654 - 378 =3276[/tex3] soluções nas quais [tex3]x \neq y.[/tex3] Em metade delas [tex3]x > y[/tex3] e na outra metade [tex3]x < y,[/tex3] de sorte que as soluções em que [tex3]x > y[/tex3] são em número de [tex3]3276/2 = 1638.[/tex3]

Mensagem não lidapor **MateusQqMD** » 08 Nov 2019, 11:27 · Mensagem não lida por **MateusQqMD** » 08 Nov 2019, 11:27

Não conheço outro método para resolver esse tipo de problema.

Mensagem não lidapor **undefinied3** » 08 Nov 2019, 11:36 · 08 Nov 2019, 11:36

Acredito que dê pra fazer x=y+x' e contar as soluções de x'+2y+z+w=26 quebrando nos casos de y igual o amigo acima fez.

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 08 Nov 2019, 11:39 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 08 Nov 2019, 11:39

MateusQqMD, acredito que você tenha considerado que as incógnitas podem assumir valor nulo, quando, na verdade, devem ser inteiros positivos. Dessa forma, teremos sempre 2 soluções a menos para cada caso.

Além disso, você acabou cometendo um pequeno erro na soma: listou apenas os ímpares, mas a soma é o resultado da soma de todos os números entre 1 e 27.

Para finalizar, há um atalho para tal operação: a soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros números naturais ímpares é igual a [tex3]n^2[/tex3] .

Pela fórmula do termo geral de uma PA, teremos 12 casos possíveis.

Dessa forma, o número de soluções acaba por ser 144, o que nos levará ao gabarito, ou seja, 1078.

08 Nov 2019, 11:48

Obrigado galera.
Eu estava considerando casos como
"13 13 0 0"... falta de atenção.

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 08 Nov 2019, 11:54 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 08 Nov 2019, 11:54

Zhadnyy, eu também desconheço outra forma. E acredito que o atalho que descrevi não serve para nenhum outro caso (com mais de duas variáveis além de [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] ). Então, acredito que esse é um tipo de problema que funciona realmente apenas como ele é, ou seja, apenas com mais duas variáveis. Não tem como generalizar para qualquer caso. Pelo menos não de uma forma tão simples.

Além disso, acabei de perceber que é desnecessário o uso da fórmula do termo geral da um PA, afinal, já sabemos que [tex3]x[/tex3] (e [tex3]y[/tex3] ) só pode assumir os valores entre 1 e 12.

Mensagem não lidapor **MateusQqMD** » 08 Nov 2019, 11:56 · Mensagem não lida por **MateusQqMD** » 08 Nov 2019, 11:56

Verdade, eu li solução inteiras não negativas. É preciso fazer [tex3]x = x^{'} + 1,[/tex3] [tex3]y = y^{'} + 1,[/tex3] etc.

Mas ainda continuam aparecendo apenas os ímpares, não?

[tex3]x^{'} + y^{'} + z^{'} + w^{'} = 22[/tex3]

Fazendo [tex3]x^{'} = y^{'}[/tex3] a equação se transforma em [tex3]2x^{'} + z^{'} + w^{'} = 22.[/tex3] Se [tex3]x^{'} = 0,[/tex3] a equação se transforma em [tex3]z^{'} + w^{'} = 22,[/tex3] que possui [tex3]23[/tex3] soluções; se [tex3]x^{'} = 1,[/tex3] a equação se transforma em [tex3]z^{'} + w^{'} = 20,[/tex3] que possui [tex3]21[/tex3] soluções; se [tex3]x^{'} = 2,[/tex3] a equação se transforma em [tex3]z^{'} + w^{'} = 18,[/tex3] que possui 19 soluções; ... ; se [tex3]x^{'} = 11,[/tex3] a equação se transforma em [tex3]z^{'} + w^{'} = 0,[/tex3] que possui [tex3]1[/tex3] solução. O número de soluções em que [tex3]x^{'} = y^{'}[/tex3] é [tex3]23 + 21 + 19 + 17 + ... + 1 = 276.[/tex3] O total de soluções de [tex3]x^{'} + y^{'}+ z^{'} + w^{'} = 22[/tex3] é [tex3]2300.[/tex3] Portanto, há [tex3]2300 - 276 =2024[/tex3] soluções nas quais [tex3]x \neq y.[/tex3] Em metade delas [tex3]x > y[/tex3] e na outra metade [tex3]x < y,[/tex3] de sorte que as soluções em que [tex3]x > y[/tex3] são em número de [tex3]2024/2 = 1012.[/tex3]

O estranho foi que não deu o gabarito. To errando alguma coisa ainda.

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 08 Nov 2019, 11:59 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 08 Nov 2019, 11:59

Você fez a mesma coisa...

[tex3]276=1+2+3+...+23[/tex3] e não [tex3]1+3+5+...+23[/tex3]

Mensagem não lidapor **MateusQqMD** » 08 Nov 2019, 12:00 · Mensagem não lida por **MateusQqMD** » 08 Nov 2019, 12:00

ah ta, vlw!

foi isso mesmo.

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