Ensino Médio ⇒ Geometria Plana, bissetrizes

[daniellyrosa]

Alguém me diz pq q existe a proporcionalidade com a área? O cara disse q a altura e a base dos triang sao semelhantes, mas n to vendo nada de semelhante só a altura e nada mais... Alguém pode me dar uma luz?

[lookez]

Os três triângulos ABC, ABD e BDC possuem o vértice B em comum e suas bases relativas a esse vértice são colineares, então a altura dos três relativa ao vértice B é a mesma. A área de um triângulo é base * altura / 2, como a altura é a mesma para todos pode-se relacionar a área deles em função da base somente, daí que vem essas proporcionalidades. Veja que AC, AD e DC são as bases relativas ao vértice B dos respectivos triângulos.

Você pode interpretar como um teorema: em qualquer triângulo, uma ceviana interna a ele divide a área total em duas novas áreas que serão proporcionais às partes da base que a ceviana dividiu. Você já deve ter visto alguma vez que uma mediana divide o triângulo em duas áreas iguais, justamente pelo fato de ela ser uma ceviana que cai no ponto médio, ou seja, divide a base em duas novas bases iguais.

Existe também uma proporcionalidade quando dois triângulos compartilham a mesma base e possuem alturas diferentes, a explicação é a mesma, terão a mesma base então a área pode ser relacionada apenas com as alturas, pois A = base * altura / 2.

OBS: Isso NÃO É semelhança, os triângulos novos divididos não serão semelhantes ao inicial ou entre si, vale apenas a proporcionalidade base pra área ou altura pra área.

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