Olimpíadas ⇒ Trigonometria - Produtório Tópico resolvido

[Hanon]

Prove que: [tex3]\prod_{k=1}^{n}\(1+2\cos\(\frac{2\pi\cdot3^k}{3^n+1}\)\)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\prod_{k=1}^{n}\(1+2\cos\(\frac{2\pi\cdot3^k}{3^n+1}\)\)=1[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

acho que sai se fizer [tex3]\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2[/tex3]

mas dá umas contas ai

[snooplammer]

Eu tentei usar complexos um tempo atrás, mas ficaram umas contas bem feias

[Al3]

Segue uma ajuda

https://youtu.be/oHAmL4FTF50

[Auto Excluído (ID:12031)]

snooplammer, acho que com complexos chegaríamos na mesma relação que o AI3 usou: [tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

que fica meio próximo

[snooplammer]

snooplammer, acho que com complexos chegaríamos na mesma relação que o AI3 usou: [tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

que fica meio próximo

SIm,

[tex3]\frac{1-\cis(3x)}{\cis(x)(1-\cis(x))}=\frac{\sen\left(\frac{3x}{2}\right)}{\sen\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1-\cis(3x)}{\cis(x)(1-\cis(x))}=\frac{\sen\left(\frac{3x}{2}\right)}{\sen\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}=\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{2}=\theta[/tex3]

[tex3]1+2\cos 2\theta=\frac{\sen 3\theta}{\sen \theta}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1+2\cos 2\theta=\frac{\sen 3\theta}{\sen \theta}[/tex3]

[Al3]

snooplammer, acho que com complexos chegaríamos na mesma relação que o AI3 usou: [tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e^{-ix} +1 + e^{ix} = e^{-ix}(1 + e^{ix} + e^{2ix}) = e^{-ix} \cdot (e^{3ix}-1) \frac1{e^{ix}-1} [/tex3]

que fica meio próximo

Eu não, o meu colega Filipe. Eu não tenho tanta habilidade em matemática.