Ensino MédioEquação Trigonométrica Tópico resolvido

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Babi123
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Out 2019 09 20:13

Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por Babi123 » Qua 09 Out, 2019 20:13

Se a soma de todas as soluções da equação [tex3]8\cos(x)\cdot\(\cos\(\frac{\pi}{6}+x\)\cdot\cos\(\frac{\pi}{6}-x\)-\frac{1}{2}\)=1[/tex3] em [tex3][0,\pi][/tex3] for [tex3]k\pi[/tex3] , então [tex3]k[/tex3] é igual a:
a) [tex3]\frac{20}{9}[/tex3]
b) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{13}{9}[/tex3]
d) [tex3]\frac{8}{9}[/tex3]

Última edição: Babi123 (Qua 09 Out, 2019 20:14). Total de 1 vez.



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LostWalker
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Out 2019 09 21:36

Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por LostWalker » Qua 09 Out, 2019 21:36

Não consegui concluir, mas vou deixar o caminho que consegui

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sobretudo, você precisa de conhecimento nas Fórmulas de Prostaférese e nas Fórmulas de Werner (Que no caso é a mesma, mas ao contrário)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Fórmulas de Prostaférese

[tex3]\sin p+\sin q=2\cdot\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\\sin p-\sin q=2\cdot\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)\cdot\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\\\cos p+\cos q=2\cdot\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\\cos p-\cos q=-2\cdot\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)[/tex3]


Fórmulas de Werner

[tex3]\sin a\cdot\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right]\\\sin b\cdot\cos a=\frac{1}{2}\left[\sin(a+b)-\sin(a-b)\right]\\\color{Green}\cos a\cdot\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]\\\sin a\cdot\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right][/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Usaremos a que está Marcada, logo:

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\color{Green}\cos\(\frac{\pi}{6}+x\)\cdot\cos\(\frac{\pi}{6}-x\)}-\frac{1}{2}\)=1[/tex3]

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\color{Green}\frac{1}{2}\left[\cos\(\frac{\pi}{3}\)+\cos(2x)\right]}-\frac{1}{2}\)=1[/tex3]

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\frac{1}{2}\left[{\color{Orange}\cos\(\frac{\pi}{3}\)}+\cos(2x)\right]}-\frac{1}{2}\)=1[/tex3]

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\frac{1}{2}\left[{\color{Orange}\frac{1}{2}}+\cos(2x)\right]}-\frac{1}{2}\)=1[/tex3]

[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}8}^4}\cos(x)\cdot\({{\frac{1}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}}}\cos(2x)}-\frac{1}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}^2}}\)=1[/tex3]


[tex3]\boxed{4\cos(x)\cdot\(\cos(2x)-\frac12\)=1}[/tex3]

Talvez eu tenha ido na direção errada ou errei alguma conta, mas enfim, não consegui sair daí

Última edição: LostWalker (Qua 09 Out, 2019 21:45). Total de 1 vez.


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Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por LostWalker » Qua 09 Out, 2019 21:53

Acho que achei algo, tava testando no aleatório aqui


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Out 2019 09 22:03

Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por csmarcelo » Qua 09 Out, 2019 22:03

Usaremos a que está Marcada, logo:

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\color{Green}\cos\(\frac{\pi}{6}+x\)\cdot\cos\(\frac{\pi}{6}-x\)}-\frac{1}{2}\)=1[/tex3]
Se multiplicarmos convenientemente ambos os lados da equação por 2, então teremos

[tex3]8\cos(x)\cdot\(2\cdot{\color{Green}\cos\(\frac{\pi}{6}+x\)\cdot\cos\(\frac{\pi}{6}-x\)}-1\)=2[/tex3]

Daí, por prostaferese,

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\color{Green}\left[\cos\(\frac{\pi}{3}\)+\cos(2x)\right]}-1\)=2[/tex3]

O que nos leva a

[tex3]8\cos(x)\cdot\(\cos(2x)-\frac{1}{2}\)=2[/tex3]

Do arco duplo

[tex3]8\cos(x)\cdot\(2\cos^2(x)-1-\frac{1}{2}\)=2[/tex3]

[tex3]8\cos(x)\cdot\(2\cos^2(x)-\frac{3}{2}\)=2[/tex3]

[tex3]2\cdot4\cos(x)\cdot\(2\cos^2(x)-\frac{3}{2}\)=2[/tex3]

[tex3]4\cos(x)\cdot\(4\cos^2(x)-3\)=2[/tex3]

[tex3]\cos(x)\cdot\(4\cos^2(x)-3\)=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]4\cos^3(x)-3\cos(x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Do arco triplo

[tex3]\cos(3x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Daí,

[tex3]3x=\frac{\pi}{3}+2q\pi[/tex3]

[tex3]x=\frac{\pi(1+6q)}{9}[/tex3]

[tex3]\frac{\pi(1+6q)}{9}\leq\pi\rightarrow\frac{1+6q}{9}\leq1\rightarrow q\in{0,1}\rightarrow x\in\{\frac{\pi}{9},\frac{7\pi}{9}\}[/tex3]

ou

[tex3]3x=\frac{5\pi}{3}+2q\pi[/tex3]

[tex3]x=\frac{\pi(5+6q)}{9}[/tex3]

[tex3]\frac{\pi(5+6q)}{9}\leq\pi\rightarrow\frac{5+6q}{9}\leq1\rightarrow q=0\rightarrow x=\frac{5\pi}{9}[/tex3]

[tex3]\frac{\pi}{9}+\frac{5\pi}{9}+\frac{7\pi}{9}=\frac{13\pi}{9}\therefore k=\frac{13}{9}[/tex3]



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Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por LostWalker » Qua 09 Out, 2019 22:09

[tex3]4\cos(x)\cdot\(\cos(2x)-\frac12\)=1[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Arcos Múltiplos

[tex3]\sin (2x)=2\cdot\sin x\cdot\cos x\\\cos (2x)=\cos ^2x - \sin ^2x\\\cos (2x)=1-2\cdot\sin ^2x\\\color{Fuchsia}\cos (2x)=2\cdot\cos ^2x-1\\\tan (2x)=\frac{2\cdot\tan x}{1-\tan ^2x}\\\frac{}{}\\\sin (3x)=3\cdot\sin x-4\cdot\sin ^3x\\\color{Violet}\cos (3x)=4\cdot\cos^3 x -3\cos x\\\tan (3x)=\frac{3\cdot\tan x-\tan ^3x}{1-\cdot3\tan ^2x}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex3]4\cos(x)\cdot\({\color{Fuchsia}\cos(2x)}-\frac12\)=1[/tex3]

[tex3]4\cos(x)\cdot\({\color{Fuchsia}2\cdot\cos ^2x-\frac22}-\frac12\)=1[/tex3]

[tex3]2\cos(x)\cdot\({2\cdot\cos ^2x-\frac32}\)=\frac12[/tex3]

[tex3]{\color{Violet}4\cos^3(x)-3\cos(x)}=\frac12[/tex3]

[tex3]{\color{Violet}\cos (3x)}=\frac12[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{1}{2}=\cos60^\circ=\cos300^\circ}[/tex3]

[tex3]\left\{\begin{matrix}\cos (3x)=\cos60^\circ\\\cos (3x)=\cos300^\circ\end{matrix}\right.[/tex3]


[tex3]\left\{\begin{matrix}x=20^\circ\\x=100^\circ\end{matrix}\right.[/tex3]


Logo, a soma dos valores é [tex3]120^\circ[/tex3]

[tex3]120^\circ=k\cdot180^\circ[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{k=\frac23}[/tex3]


Ou seja, eu devo ter errado uma besteira em algum lugar, mas deve ser isso


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Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por LostWalker » Qua 09 Out, 2019 22:11

É... essa interpretação final eu não fazia ideia, mas me parecia estranho o final que eu estava fazendo


"When the first living thing existed, i was there, waiting. When the last living thing dies, my job will be Finished. I'll put the chairs on the tables, turn out the lights and lock the Universe behind me when i Leave"
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por csmarcelo » Qua 09 Out, 2019 22:26

Pois é, só faltou você considerar [tex3]3x=420^\circ[/tex3] , o que nos leva a [tex3]x=140^\circ[/tex3] .

Normalmente, quando se tem uma equação como a que encontramos, igualamos o ângulo a cada uma das primeiras determinações positivas que possuem o valor da função, somamos o período da função [tex3]q[/tex3] vezes e, em seguida, submetemos essa equação às restrições do enunciado, descobrindo assim os possíveis valores de [tex3]q[/tex3] e, consequentemente, do ângulo.



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Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por LostWalker » Qua 09 Out, 2019 22:31

Ah não, faltou só isso :|

...

...

N devia ter parado de estudar Química para isso XD

Vlw csmarcelo



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