Olimpíadas ⇒ (OBMEP na Escola - 2019) Análise Combinatória Tópico resolvido

[DanielDC]

Bom dia,

Tentarei lembrar a questão de cabeça, uma vez que não pudemos ficar com a prova e ainda não está disponível para consulta online. Trata-se de uma questão do OBMEP na escola, feita para professores das escolas públicas.

Em determinada escola tem-se três aulas de português e três de matemática em uma turma distribuídas em 5 dias da semana em 4 horários por dia (aula 1, aula 2, aula 3, aula 4). Não se pode ter mais de uma aula de cada disciplina por dia.

A letra (a) e (b) eu fiz, mas não sei se fiz corretamente [gostaria que conferissem minha resposta]. A letra C não tive tempo de fazer. Fiz uma pequena tentativa mas não terminei, pois o tempo estava curto.

(a)De quantas maneiras podemos distribuir as aulas de matemática durante a semana.

primeiro escolhemos um dia da semana, em seguida o horário e assim sucessivamente. (5.4).(4.4).(3.4)=5.3.4^4

(b)De quantas maneiras podemos distribuir português e matemática em um único dia determinado da semana tendo que ter uma aula de português e matemática nesse dia.

Podemos distribuir português e matemática em um determinado dia permutando PMVV de 4!/2!=12 modos.

(c) De quantas maneiras possíveis pode-se distribuir as aulas de português e matemática de modo que nenhum dia fique sem nenhuma aula de português ou matemática?

Minha tentativa, mas não consegui concluir na prova: Vamos contar todos modos de lançar português e matemática, pela letra (a), teremos (5.3.4^3)^2 modos, vamos retirar todos as maneiras que tem português e matemática no mesmo dia, escolhemos primeiro o dia e depois lançamos as aulas e assim sucessivamente. 5.12.4.12.3.12=60.12^3. Logo, temos (5.3.4^3)^2-60.16^3 modos. Acho que viajei nessa resposta, mas queria a opinião de vocês rsrsrs

[MateusQqMD]

Olá, DanielDC

Irei começar pelo item a) e depois eu penso com cuidado nos outros itens. Não consegui interpretar muito bem o item b) e ainda não enxerguei uma ideia boa para o item c), talvez a gente tenha que dividir em casos..

a) Em primeiro lugar, devemos escolher em quais dias da semana as aulas de matemática serão ministradas. Há [tex3]C_5^3 = 10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_5^3 = 10[/tex3]

modos de isso ser feitos. Depois disso, devemos escolher em qual horário (aula 1, aula 2, aula 3, aula 4) cada aula será encaixada (4 modos).

Penso que a resposta seja [tex3]10 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 640.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 640.[/tex3]

[DanielDC]

realmente eu errei a letra (a), contei repetidamente as aulas, devia ter dividido por 3!. Daria 640. Essa análise combinatório me derrubando rsrs. Por consequência errei a letra (c).

A letra (b) que eu me lembre é assim. Pegue um dia da semana, terá que ter aula de português e matemática naquele dia, como só pode uma aula de cada, quantas combinações pode acontecer?

[MateusQqMD]

A letra (b) que eu me lembre é assim. Pegue um dia da semana, terá que ter aula de português e matemática naquele dia, como só pode uma aula de cada, quantas combinações pode acontecer?

Entendi. Então acredito que a resposta seja essa mostrada por você mesmo.

[csmarcelo]

Tentei responder mais cedo, mas não consegui tempo.

A letra (a) é como o Mateus explicou.

A letra (b) é isso mesmo, Daniel.

Letra (c):

Há [tex3]C^5_2=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^5_2=10[/tex3]

maneiras de escolhermos dois dias somente de matemática.
Há [tex3]C^3_2=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^3_2=3[/tex3]

maneiras de escolhermos dois dias somente de português.

O dia restante ficará com as aulas restantes de matemática e português, uma de cada matéria.

Assim, temos [tex3]10\cdot3=30[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10\cdot3=30[/tex3]

maneiras de escolhermos os dias de cada matéria de forma que não haja dia sem aula.

Considerando os horários, há [tex3]30\cdot12^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]30\cdot12^3[/tex3]

maneiras de montarmos a grade.

[MateusQqMD]

E aí, Marcelo

Nessa parte final, não seriam [tex3]30 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 12 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]30 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 12 [/tex3]

modos de montarmos a grade?

[csmarcelo]

Sim! Nada a ver o que eu fiz. Fiquei com esse 12^3 na cabeça e acabei colocando sem pensar.