De certo modo, eu cheguei no mesmo que
jedi, porém eu usei Geometria Plana e não Geometria Analítica. A princípio, achei sua resolução muito interessante (dado que me sinto uma batata quando o assunto é Geometria Analítica).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vamos começar "organizando" essa bagunça de ângulos. Vou apenas mostrar as retas mais interessantes:
- ! 1.jpg (20.99 KiB) Exibido 1072 vezes
[tex3]\overline{PM}=\overline{MT}[/tex3]
então sendo [tex3]\overline{BM}[/tex3]
uma reta em comum, podemos definir que:
[tex3]\angle{MBP}=\angle{TBM}=\alpha[/tex3]
Pensando que o ângulo parte dos pontos [tex3]T[/tex3]
, [tex3]C[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
, que pertencem a circunferência, o ângulo [tex3]\angle TOC[/tex3]
será seu dobro, ou seja, [tex3]2\alpha[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- ! 2.jpg (22.42 KiB) Exibido 1072 vezes
Resumidamente, usasse mesmo princípio, logo, [tex3]\angle COB[/tex3]
também valerá o dobro do seu respectivo, ou seja, [tex3]6\alpha[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Agora ideias de Simetria, tanto para os ângulos, quanto para as retas:
- ! 3.jpg (20.14 KiB) Exibido 1072 vezes
Podemos usar e abusar do fato de [tex3]\overline{AN}[/tex3]
e [tex3]\overline{BM}[/tex3]
serem perpendiculares a Reta Tangente. Se fôssemos projetar o que temos embaixo para cima, logo veríamos:
[tex3]\mbox{I.}[/tex3]
Mais um ângulo [tex3]2\alpha[/tex3]
para a Reta Tangente. Ou seja, [tex3]\pi=10\alpha\,\,\,\therefore\,\,\,\alpha=\frac{\pi}{10}[/tex3]
e todo o Círculo é [tex3]20\alpha[/tex3]
[tex3]\mbox{II.}\,\,\overline{AN}=\overline{BN'}[/tex3]
Com a [tex3]\mbox{II}[/tex3]
, podemos dizer que o Diâmetro vale [tex3]d=2\sqrt5[/tex3]
, logo, [tex3]r=\sqrt5[/tex3]
e sua área:
[tex3]A=\pi r^2[/tex3]
[tex3]A=5\pi[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Com isso, Regra de 3 e temos nossa resposta:
[tex3]\frac{5\pi}{S}=\frac{20\alpha}{8\alpha}[/tex3]
[tex3]S=\frac{5\pi\cdot8{\color{Red}\cancel{\color{Black}\alpha}}}{20{\color{Red}\cancel{\color{Black}\alpha}}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{S=2\pi}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa C}[/tex3]