IME / ITA(Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Flavio2020
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Set 2019 09 18:38

(Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

No gráfico PM=MT,T é ponto de tangência e AN+BM=2[tex3]\sqrt{5}[/tex3] .Calcule a área da região sombreada.
x12.PNG
x12.PNG (14.67 KiB) Exibido 428 vezes
a)3[tex3]\pi [/tex3]
b)4[tex3]\pi [/tex3]
c)2[tex3]\pi [/tex3]
d)[tex3]\pi [/tex3]
e)5[tex3]\pi [/tex3]
Resposta

c




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lookez
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Set 2019 14 14:26

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por lookez »

Encontrei diferente do gabarito:
fig.PNG
fig.PNG (15.36 KiB) Exibido 278 vezes
[tex3]\frac{\overline{AN}+\overline{BM}}{2}[/tex3] é a base média do trapézio ABMN, que também será o raio do círculo, [tex3]\sqrt{5}[/tex3] .

Traçando [tex3]\overline{OQ}[/tex3] e [tex3]\overline{AQ}[/tex3] aparece o triângulo retângulo isósceles ABQ inscrito no círculo com vértice "olhando" para o diâmetro, assim conseguimos encontrar o ângulo [tex3]\alpha = 15°[/tex3] .

Área do setor circular: [tex3]\pi(\sqrt{5})^{2}\frac{135°}{360°}=\frac{15\pi}{8}[/tex3]

Última edição: lookez (Sáb 14 Set, 2019 18:43). Total de 2 vezes.



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jedi
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Set 2019 15 21:22

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jedi »

Boa noite

Na verdade ABQ não é isóceles, AOQ e BOQ sim são isoceles, mas ABQ não

Encontrando alfa:

[tex3]\hat{BAQ}=3\alpha[/tex3]

[tex3]BM=R.\sen(3\alpha)+R[/tex3]

[tex3]PM=MT=R.\cos(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\frac{PM}{BM}=\tan(\alpha)[/tex3]

[tex3]\frac{R.\cos(3\alpha)}{R.\sen(3\alpha)+R}=\tan(\alpha)[/tex3]

[tex3]\frac{\cos(3\alpha)}{\sen(3\alpha)+R}=\frac{\sen(\alpha)}{\cos(\alpha)}[/tex3]

[tex3]\cos(3\alpha)\cos(\alpha)=\sen(\alpha).\sen(3\alpha)+\sen(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\cos(3\alpha)\cos(\alpha)-\sen(\alpha).\sen(3\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\cos(3\alpha-\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\cos(2\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\sen(\frac{\pi}{2}-2\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\frac{\pi}{2}-2\alpha=3\alpha[/tex3]

[tex3]\alpha=\frac{\pi}{10}[/tex3]



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LostWalker
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Set 2019 15 23:40

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por LostWalker »

De certo modo, eu cheguei no mesmo que jedi, porém eu usei Geometria Plana e não Geometria Analítica. A princípio, achei sua resolução muito interessante (dado que me sinto uma batata quando o assunto é Geometria Analítica).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vamos começar "organizando" essa bagunça de ângulos. Vou apenas mostrar as retas mais interessantes:
! 1.jpg
! 1.jpg (20.99 KiB) Exibido 223 vezes

[tex3]\overline{PM}=\overline{MT}[/tex3] então sendo [tex3]\overline{BM}[/tex3] uma reta em comum, podemos definir que:

[tex3]\angle{MBP}=\angle{TBM}=\alpha[/tex3]

Pensando que o ângulo parte dos pontos [tex3]T[/tex3] , [tex3]C[/tex3] e [tex3]B[/tex3] , que pertencem a circunferência, o ângulo [tex3]\angle TOC[/tex3] será seu dobro, ou seja, [tex3]2\alpha[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
! 2.jpg
! 2.jpg (22.42 KiB) Exibido 223 vezes

Resumidamente, usasse mesmo princípio, logo, [tex3]\angle COB[/tex3] também valerá o dobro do seu respectivo, ou seja, [tex3]6\alpha[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Agora ideias de Simetria, tanto para os ângulos, quanto para as retas:
! 3.jpg
! 3.jpg (20.14 KiB) Exibido 223 vezes
Podemos usar e abusar do fato de [tex3]\overline{AN}[/tex3] e [tex3]\overline{BM}[/tex3] serem perpendiculares a Reta Tangente. Se fôssemos projetar o que temos embaixo para cima, logo veríamos:

[tex3]\mbox{I.}[/tex3] Mais um ângulo [tex3]2\alpha[/tex3] para a Reta Tangente. Ou seja, [tex3]\pi=10\alpha\,\,\,\therefore\,\,\,\alpha=\frac{\pi}{10}[/tex3] e todo o Círculo é [tex3]20\alpha[/tex3]

[tex3]\mbox{II.}\,\,\overline{AN}=\overline{BN'}[/tex3]


Com a [tex3]\mbox{II}[/tex3] , podemos dizer que o Diâmetro vale [tex3]d=2\sqrt5[/tex3] , logo, [tex3]r=\sqrt5[/tex3] e sua área:

[tex3]A=\pi r^2[/tex3]
[tex3]A=5\pi[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Com isso, Regra de 3 e temos nossa resposta:

[tex3]\frac{5\pi}{S}=\frac{20\alpha}{8\alpha}[/tex3]

[tex3]S=\frac{5\pi\cdot8{\color{Red}\cancel{\color{Black}\alpha}}}{20{\color{Red}\cancel{\color{Black}\alpha}}}[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{S=2\pi}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa C}[/tex3]
Última edição: LostWalker (Dom 15 Set, 2019 23:41). Total de 1 vez.


"When the first living thing existed, i was there, waiting. When the last living thing dies, my job will be Finished. I'll put the chairs on the tables, turn out the lights and lock the Universe behind me when i Leave"
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geobson
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Set 2019 21 16:50

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson »

há um vídeo explicado uma forma de resolver este problema
https://www.youtube.com/watch?v=8nN26cUA69g




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