travei nessas 2 integrais, alguém poderia me ajudar??
1)[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3dx}{x^{2}-4x+1}[/tex3]
2) [tex3]\int\limits_{}^{}x^2 \sqrt{1+x}dx[/tex3]
Ensino Superior ⇒ integral utilizando o método da substituição Tópico resolvido
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Ago 2019
28
14:55
integral utilizando o método da substituição
Última edição: thetruth (Qui 29 Ago, 2019 00:18). Total de 1 vez.
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Ago 2019
31
00:54
Re: integral utilizando o método da substituição
Olá thetruth, como são duas questões , irei resolver somente uma, pois você infringiu em uma das regras deste fórum , seguindo a ordem , vou resolver a 1).
Observe
Solução:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3dx}{x^{2}-4x+1}=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^{2}-4x+1}dx=[/tex3]
Completando quadrado, vem;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^{2}-4x+4-4+1}dx=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(x-2)^2-3}dx=[/tex3]
Fazendo a substituição
u = x - 2 → du = dx
Daí,
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{u^2-3}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}du=[/tex3]
Então,
[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A}{u+\sqrt{3}}+\frac{B}{u-\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A.(u-\sqrt{3})+B.(u+\sqrt{3})}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A.
u-A.\sqrt{3}+B.u+B.\sqrt{3}}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]
[tex3]\frac{0.u+3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{(A+B).u+(B-A).\sqrt{3}}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]
Comparando os termos, resulta no seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
(B-A).\sqrt{3}=3
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
B-A=\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o sistema acima, obtemos:
[tex3]A=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] ,
[tex3]B=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Assim,
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{A}{u+\sqrt{3}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{B}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{u+\sqrt{3}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u+\sqrt{3}}dx+\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u+\sqrt{3}|+\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u-\sqrt{3}|+C[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u+\sqrt{3}|+C[/tex3]
Como u = x - 2, vem;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{[(x-2)
+\sqrt{3}].[(x-2)-\sqrt{3}]}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2+\sqrt{3}|+C[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(x-2)^2
-\sqrt{3^2}}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2+\sqrt{3}|+C[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^2-4x+4
-3}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.(ln|x-2-\sqrt{3}|-ln|x-2+\sqrt{3}|)+C[/tex3]
Ou ainda;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^2-4x+1}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.(ln\left|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}}\right|)+C[/tex3]
Bons estudos!
Observe
Solução:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3dx}{x^{2}-4x+1}=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^{2}-4x+1}dx=[/tex3]
Completando quadrado, vem;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^{2}-4x+4-4+1}dx=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(x-2)^2-3}dx=[/tex3]
Fazendo a substituição
u = x - 2 → du = dx
Daí,
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{u^2-3}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}du=[/tex3]
Então,
[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A}{u+\sqrt{3}}+\frac{B}{u-\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A.(u-\sqrt{3})+B.(u+\sqrt{3})}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A.
u-A.\sqrt{3}+B.u+B.\sqrt{3}}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]
[tex3]\frac{0.u+3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{(A+B).u+(B-A).\sqrt{3}}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]
Comparando os termos, resulta no seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
(B-A).\sqrt{3}=3
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
B-A=\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o sistema acima, obtemos:
[tex3]A=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] ,
[tex3]B=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Assim,
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{A}{u+\sqrt{3}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{B}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{u+\sqrt{3}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u+\sqrt{3}}dx+\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u+\sqrt{3}|+\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u-\sqrt{3}|+C[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u+\sqrt{3}|+C[/tex3]
Como u = x - 2, vem;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{[(x-2)
+\sqrt{3}].[(x-2)-\sqrt{3}]}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2+\sqrt{3}|+C[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(x-2)^2
-\sqrt{3^2}}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2+\sqrt{3}|+C[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^2-4x+4
-3}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.(ln|x-2-\sqrt{3}|-ln|x-2+\sqrt{3}|)+C[/tex3]
Ou ainda;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^2-4x+1}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.(ln\left|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}}\right|)+C[/tex3]
Bons estudos!
Ago 2019
31
01:29
Re: integral utilizando o método da substituição
poxa eu tinha resolvido essa primeira já, eu estava mesmo precisando dessa segunda.Cardoso1979 escreveu: ↑Sáb 31 Ago, 2019 00:54Olá thetruth, como são duas questões , irei resolver somente uma, pois você infringiu em uma das regras deste fórum , seguindo a ordem , vou resolver a 1).
Observe
Solução:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3dx}{x^{2}-4x+1}=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^{2}-4x+1}dx=[/tex3]
Completando quadrado, vem;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^{2}-4x+4-4+1}dx=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(x-2)^2-3}dx=[/tex3]
Fazendo a substituição
u = x - 2 → du = dx
Daí,
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{u^2-3}du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}du=[/tex3]
Então,
[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A}{u+\sqrt{3}}+\frac{B}{u-\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A.(u-\sqrt{3})+B.(u+\sqrt{3})}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A.
u-A.\sqrt{3}+B.u+B.\sqrt{3}}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]
[tex3]\frac{0.u+3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{(A+B).u+(B-A).\sqrt{3}}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]
Comparando os termos, resulta no seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
(B-A).\sqrt{3}=3
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
B-A=\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o sistema acima, obtemos:
[tex3]A=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] ,
[tex3]B=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Assim,
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{A}{u+\sqrt{3}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{B}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{u+\sqrt{3}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u+\sqrt{3}}dx+\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u+\sqrt{3}|+\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u-\sqrt{3}|+C[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u+\sqrt{3}|+C[/tex3]
Como u = x - 2, vem;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{[(x-2)
+\sqrt{3}].[(x-2)-\sqrt{3}]}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2+\sqrt{3}|+C[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(x-2)^2
-\sqrt{3^2}}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2+\sqrt{3}|+C[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^2-4x+4
-3}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.(ln|x-2-\sqrt{3}|-ln|x-2+\sqrt{3}|)+C[/tex3]
Ou ainda;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^2-4x+1}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.(ln\left|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}}\right|)+C[/tex3]
Bons estudos!
desculpe, eu desconhecia essa regra do fórum
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Ago 2019
31
08:17
Re: integral utilizando o método da substituição
thetruth escreveu: ↑Sáb 31 Ago, 2019 01:29poxa eu tinha resolvido essa primeira já, eu estava mesmo precisando dessa segunda.
Porque você não avisou? Se você tivesse avisado aqui( postado algo, tipo , que não precisava mais resolver a 1 ), eu teria resolvido a segunda e não a primeira.
desculpe, eu desconhecia essa regra do fórum
Tudo bem
Set 2019
02
15:19
Re: integral utilizando o método da substituição
Cardoso1979 escreveu: ↑Sáb 31 Ago, 2019 08:17thetruth escreveu: ↑Sáb 31 Ago, 2019 01:29poxa eu tinha resolvido essa primeira já, eu estava mesmo precisando dessa segunda.
Porque você não avisou? Se você tivesse avisado aqui( postado algo, tipo , que não precisava mais resolver a 1 ), eu teria resolvido a segunda e não a primeira.
eu tinha esquecido do tópico
-
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Set 2019
20
21:55
Re: integral utilizando o método da substituição
thetruth escreveu: ↑Seg 02 Set, 2019 15:19Cardoso1979 escreveu: ↑Sáb 31 Ago, 2019 08:17Okthetruth escreveu: ↑Sáb 31 Ago, 2019 01:29poxa eu tinha resolvido essa primeira já, eu estava mesmo precisando dessa segunda.
Porque você não avisou? Se você tivesse avisado aqui( postado algo, tipo , que não precisava mais resolver a 1 ), eu teria resolvido a segunda e não a primeira.
eu tinha esquecido do tópico
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