Vamos verificar para quais valores de [tex3]x[/tex3]
a função está definida. A unica restrição é que o denominador seja diferente de zero, então:
[tex3]\cos(x)-\sen(x)\neq0[/tex3]
[tex3]\cos(x)\neq\sen(x)[/tex3]
Podemos verificar que [tex3]\sen(x)=0[/tex3]
e [tex3]\cos(x)=0[/tex3]
não satisfazem a equação, dado que eles não se anulam nos mesmos valores de [tex3]x[/tex3]
, então:
[tex3]\cos(x)\neq\sen(x)[/tex3]
[tex3]{\sen(x)\over\cos(x)}\neq1[/tex3]
[tex3]{\tan(x)}\neq1[/tex3]
[tex3]x\neq {\pi\over4}+k\pi[/tex3]
Ou seja:
[tex3]\text{D}(h)=\left\{x\in\mathbb{R}/x\neq {\pi\over4}+k\pi\right\}[/tex3]
mcarvalho escreveu: ↑08 Jul 2020, 21:48
Onde estou errando?
Embaixo, deveria ser "seno da semi-diferença vezes cosseno da semi-soma" e sem o menos:
[tex3]h(x)=\frac{2\cdot \sen \(\frac{x+\frac{\pi}2-x}{2}\)\cdot \cos \(\frac{x-\frac{\pi}2+x}{2}\)}{2\cdot \sen \(\frac{x-\frac{\pi}2+x}{2}\)\cdot \cos \(\frac{x+\frac{\pi}2-x}{2}\)}[/tex3]
[tex3]h(x)=\frac{ \sen \(\frac{\frac{\pi}2}{2}\)\cdot \cos \(\frac{2x-\frac{\pi}2}{2}\)} { \sen \(\frac{2x-\frac{\pi}2}{2}\)\cdot \cos \(\frac{\frac{\pi}2}{2}\)}[/tex3]
[tex3]h(x)=\frac{ \sen \(\frac{\pi}4\)\cdot \cos \(x-\frac{\pi}4\)} { \sen \(x-\frac{\pi}4\)\cdot \cos \(\frac{\pi}4\)}[/tex3]
[tex3]h(x)=\frac{ \cos \(x-\frac{\pi}4\)} { \sen \(x-\frac{\pi}4\)}[/tex3]
[tex3]h(x)=\cotg \(x-\frac{\pi}4\)[/tex3]
Sabemos que [tex3]\tan(x)[/tex3]
possuí período igual à [tex3]\pi[/tex3]
. Como [tex3]\cotg(x)={1\over\tan(x)}[/tex3]
, então [tex3]h[/tex3]
também possuirá
período [tex3]\pi[/tex3]
Como [tex3]\cotg\(x-\frac{\pi}4\)={\cos\(x-\frac{\pi}4\)\over\sen\(x-\frac{\pi}4\)}[/tex3]
, quando [tex3]x[/tex3]
se aproxima de [tex3]\frac{\pi}4[/tex3]
, então [tex3]\cos\(x-\frac{\pi}4\)[/tex3]
se aproxima de um, mas o denominador se aproxima de zero, assim o numerador será um número finito enquanto o denominador ficará muito pequeno, fazendo que o valor de [tex3]h[/tex3]
aumente cada vez mais, indo até o infinito. Da mesma forma, quando [tex3]x[/tex3]
se aproxima de [tex3]\frac{\pi}4+\pi[/tex3]
, então [tex3]\cos\(x-\frac{\pi}4\)[/tex3]
se aproxima de [tex3]-1[/tex3]
, mas o denominador se aproxima de zero, assim o numerador será um número finito negativo enquanto o denominador ficará muito pequeno, fazendo que o valor de [tex3]h[/tex3]
diminua cada vez mais, indo até infinito negativo. Ou seja:
[tex3]\text{Im}(h)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}[/tex3]
