Ensino Médio ⇒ Matrizes Inversas

[tiberiotavares]

1) A inversa da matriz B = [tex3]\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

é a matriz :

[mionsk]

Sendo B = Matriz
M = Matriz inversa
I= Matriz identidade

Temos a relação

B.M=I

[tex3]\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

.[tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Resolvendo a multiplicação e aplicando os conceitos de matrizes.

[tex3]\begin{cases}
2a+c=1 \\
a+3c=0 \\
2b+d=0 \\
b+3d=1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2a+c=1 \\
a+3c=0 \\
2b+d=0 \\
b+3d=1
\end{cases}[/tex3]

a=-3c
2a+c=1 ----> 2(-3c)+c=1 [tex3]\rightarrow c=\frac{-1}{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow c=\frac{-1}{5}[/tex3]

a=-3c [tex3]\rightarrow a=-3(\frac{-1}{5})=\frac{3}{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow a=-3(\frac{-1}{5})=\frac{3}{5}[/tex3]

Continue resolvendo para achar as demais incógnitas


Logo, após resolvido esse sistema.
Você chegará na matriz:

[tex3]\begin{pmatrix}
\frac{3}{5} & \frac{-1}{5} \\
\frac{-1}{5} & \frac{2}{5} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
\frac{3}{5} & \frac{-1}{5} \\
\frac{-1}{5} & \frac{2}{5} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[mionsk]

Tem um macete para inversas de matrizes 2x2

Os passos são os seguintes.

i) Faça o determinante da matriz original
ii) Divida todos elementos pelo determinante da matriz original
iii) Os elementos da diagonal principal trocarão de lugar
iv) Os elementos da diagonal secundária terão o sinal trocado

i) determinante
[tex3]\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

fazendo o determinante dessa matriz: 6-(1)= 5

ii) dividir os elementos
[tex3]\begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\
\frac{1}{5} & \frac{3}{5} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\
\frac{1}{5} & \frac{3}{5} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

iii e iv) fazer as diag. principal e secundária, respectivamente, trocar o lugar e o sinal

[tex3]\begin{pmatrix}
\frac{3}{5} & \frac{-1}{5} \\
\frac{-1}{5} & \frac{2}{5} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
\frac{3}{5} & \frac{-1}{5} \\
\frac{-1}{5} & \frac{2}{5} \\
\end{pmatrix}[/tex3]