Ensino Médio ⇒ Triângulo Tópico resolvido

[thetruthFMA]

Seja ABC um triângulo com lados AB=15, AC=12 e BC=18. Seja O um ponto sobre o lado AC, tal que PC=3AP. Tomando Q sobre BC, entre B e C,tal que a área do quadrilátero APQB seja igual a área do triângulo PQC, qual será o valor de BQ?

Resposta

---

BQ=6 u.c.

[petras]

BQ = 18 - X

Área de um triângulo qualquer em função do Ângulo:
[tex3]\mathsf{S_A =\frac{b.c.sen\alpha}{2} \\
S_{ABC}=\frac{12.18.sen\alpha}{2}=108sen\alpha\\
S_{APQB}=S_{PQC}\therefore S_{APQB}=\frac{S_{ABC}}{2}=\frac{108\sen\alpha}{2}=54sen\alpha\\
S_{PQC}=\frac{9.x.sen\alpha}{2}\\
S_{PQC} = s_{APQB}\rightarrow \frac{9xsen\alpha}{2}=54sen\alpha\rightarrow x=12\\
\therefore \boxed{\mathsf{BQ=18-12=6}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{S_A =\frac{b.c.sen\alpha}{2} \\
S_{ABC}=\frac{12.18.sen\alpha}{2}=108sen\alpha\\
S_{APQB}=S_{PQC}\therefore S_{APQB}=\frac{S_{ABC}}{2}=\frac{108\sen\alpha}{2}=54sen\alpha\\
S_{PQC}=\frac{9.x.sen\alpha}{2}\\
S_{PQC} = s_{APQB}\rightarrow \frac{9xsen\alpha}{2}=54sen\alpha\rightarrow x=12\\
\therefore \boxed{\mathsf{BQ=18-12=6}}}[/tex3]

[Babi123]

Outra maneira:
Usando propriedade de áreas, temos:
[tex3]\frac{[CPQ]}{[ABC]}=\frac{9}{12}\cdot \frac{x}{18}\\
\frac{135}{270}=\frac{3}{4}\cdot \frac{x}{18}\\
\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{x}{18}\\
\boxed{\boxed{x=12 }}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{[CPQ]}{[ABC]}=\frac{9}{12}\cdot \frac{x}{18}\\
\frac{135}{270}=\frac{3}{4}\cdot \frac{x}{18}\\
\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{x}{18}\\
\boxed{\boxed{x=12 }}[/tex3]

Portanto,
[tex3]BQ=18-12\\
\boxed{\boxed{BQ=6 \ u.c}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BQ=18-12\\
\boxed{\boxed{BQ=6 \ u.c}}[/tex3]

Obs.:
Essa propriedade que usei é explicada de maneira bem compreensível pelo prof. do portal da Matemática nesta vídeo aula: https://youtu.be/oQfv2tgHvds

[thetruthFMA]

BQ = 18 - X

Área de um triângulo qualquer em função do Ângulo:
[tex3]\mathsf{S_A =\frac{b.c.sen\alpha}{2} \\
S_{ABC}=\frac{12.18.sen\alpha}{2}=108sen\alpha\\
S_{APQB}=S_{PQC}\therefore S_{APQB}=\frac{S_{ABC}}{2}=\frac{108\sen\alpha}{2}=54sen\alpha\\
S_{PQC}=\frac{9.x.sen\alpha}{2}\\
S_{PQC} = s_{APQB}\rightarrow \frac{9xsen\alpha}{2}=54sen\alpha\rightarrow x=12\\
\therefore \boxed{\mathsf{BQ=18-12=6}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{S_A =\frac{b.c.sen\alpha}{2} \\
S_{ABC}=\frac{12.18.sen\alpha}{2}=108sen\alpha\\
S_{APQB}=S_{PQC}\therefore S_{APQB}=\frac{S_{ABC}}{2}=\frac{108\sen\alpha}{2}=54sen\alpha\\
S_{PQC}=\frac{9.x.sen\alpha}{2}\\
S_{PQC} = s_{APQB}\rightarrow \frac{9xsen\alpha}{2}=54sen\alpha\rightarrow x=12\\
\therefore \boxed{\mathsf{BQ=18-12=6}}}[/tex3]

Como se desenvolveu essa parte? Seria por semelhança de triângulos? Porque eu tentei aqui e a semelhança deu 3/4...
[tex3]S_{APQB}=\frac{S_{ABC}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{APQB}=\frac{S_{ABC}}{2}[/tex3]

[thetruthFMA]

Usando propriedade de áreas

Qual propriedade de áreas? Seria a área do triângulo? Mas se for não faltam dados?

[Babi123]

Como se desenvolveu essa parte? Seria por semelhança de triângulos?

Em nenhum momento na solução do colega petras, foi utilizado semelhança. Oq ele usou foi a fórmula de área de um triângulo em função de dois lados e o ângulo compreendido entre eles e em seguida ele usou a informação q o próprio problema deu:

a área do quadrilátero APQB seja igual a área do triângulo PQC

Qual a propriedade de área do triângulo? Mas se for não faltam dados?

A propriedade q eu mencionei é uma q o professor do portal da matemática explica (prova) nesse vídeo https://youtu.be/oQfv2tgHvds vejo no minuto 5min 20seg