Ensino MédioTeorema da Bissetriz Interna

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:21471)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Out 2018 27 09:03

Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:21471) »

Considerando as medidas indicadas na figura e sabendo que o círculo está inscrito no triângulo, determine x.
B7D3186F-7429-4B9D-ACAA-1116E3BA5FEB.jpeg
B7D3186F-7429-4B9D-ACAA-1116E3BA5FEB.jpeg (38.49 KiB) Exibido 6174 vezes
Resposta

15

Última edição: caju (Sáb 27 Out, 2018 13:10). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.



Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:12031)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Out 2018 27 09:25

Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

tutorgeom.png
tutorgeom.png (262.18 KiB) Exibido 6192 vezes
os triângulos retângulos [tex3]\Delta AXI[/tex3] e [tex3]\Delta AYI[/tex3] são congruentes (iguais) por terem mesma hipotenusa [tex3]AI[/tex3] e mesmo catetos: [tex3]YI = XI[/tex3]

logo [tex3]AX= AY = 3[/tex3] logo o lado esquerdo vale [tex3]6+3=9[/tex3]

sabemos que [tex3]6+x = 7+y \implies y = x-1[/tex3]
apliquemos o teorema da bissetriz interna com relação ao vértice A:

[tex3]\frac{9}{7} = \frac{3+x}{x-1} \implies 9x-9 = 21 + 7x \implies 2x = 30 \implies x=15[/tex3]




Avatar do usuário
Gwynbleidd
sênior
Mensagens: 44
Registrado em: Sáb 27 Out, 2018 09:15
Última visita: 16-03-20
Out 2018 27 09:41

Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Gwynbleidd »

Só não consegui entender [tex3]6+x=7+y[/tex3] , pode me explicar?


“Evil is evil. Lesser, greater, middling… makes no difference. The degree is arbitrary. The definition’s blurred. If I’m to choose between one evil and another, I’d rather not choose at all."

Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:12031)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Out 2018 27 09:48

Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

são duas formas de descrever o lado de baixo (BC):

o mesmo argumento que eu usei para mostrar que [tex3]AX = AY[/tex3] pode ser usado pra mostrar que as distâncias entre o vértice a esquerda (vou chamar ele de B) e os pontos de tangencia da circunferência aos lados AB e BC são iguais. Isso é, se [tex3]Z[/tex3] é o encontro da circunferência com o lado BC então [tex3]BX = BZ = 6[/tex3] e [tex3]CY = CZ = x[/tex3]
logo [tex3]BC = BZ + CZ = 6+x[/tex3]

mas olhando pelo pé da bissetriz a partir de [tex3]A[/tex3] (vou chamar esse pé de [tex3]M[/tex3] ) temos [tex3]BM = 7[/tex3] e portanto [tex3]y = CM = BC - BM = (6+x)-7 = x-1[/tex3]



Avatar do usuário
Gwynbleidd
sênior
Mensagens: 44
Registrado em: Sáb 27 Out, 2018 09:15
Última visita: 16-03-20
Out 2018 27 09:57

Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Gwynbleidd »

Entendi agora, eu tava pensando que o encontro da bissetriz com o lado BC era o ponto de tangência, muito obrigado! :D


“Evil is evil. Lesser, greater, middling… makes no difference. The degree is arbitrary. The definition’s blurred. If I’m to choose between one evil and another, I’d rather not choose at all."

Avatar do usuário
graceraira
Junior
Mensagens: 13
Registrado em: Sáb 16 Mar, 2019 17:32
Última visita: 13-09-21
Jul 2019 19 14:52

Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por graceraira »

sousóeu escreveu:
Sáb 27 Out, 2018 09:48
são duas formas de descrever o lado de baixo (BC):

o mesmo argumento que eu usei para mostrar que [tex3]AX = AY[/tex3] pode ser usado pra mostrar que as distâncias entre o vértice a esquerda (vou chamar ele de B) e os pontos de tangencia da circunferência aos lados AB e BC são iguais. Isso é, se [tex3]Z[/tex3] é o encontro da circunferência com o lado BC então [tex3]BX = BZ = 6[/tex3] e [tex3]CY = CZ = x[/tex3]
logo [tex3]BC = BZ + CZ = 6+x[/tex3]

mas olhando pelo pé da bissetriz a partir de [tex3]A[/tex3] (vou chamar esse pé de [tex3]M[/tex3] ) temos [tex3]BM = 7[/tex3] e portanto [tex3]y = CM = BC - BM = (6+x)-7 = x-1[/tex3]
Desculpa, mas eu fiquei com dúvida. Não consegui identificar todas as letras no triângulo. Você poderia colocar no desenho?
triangulo.jpg
triangulo.jpg (15.32 KiB) Exibido 5641 vezes



Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:12031)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Jul 2019 19 19:30

Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

graceraira, você errou o ponto C ele é o vértice da direita do triângulo maior. BC é o lado oposto ao vértice A no triângulo que circunscreve a circunferência tanto é que ele vale 7+y
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 19 Jul, 2019 19:31). Total de 2 vezes.



Avatar do usuário
Jhonatan
Guru
Mensagens: 475
Registrado em: Dom 25 Set, 2016 22:42
Última visita: 05-02-24
Out 2020 11 15:38

Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Jhonatan »

Alguém poderia explicar, novamente, por quê 6 + x = 7 + y ? Eu li a explicação mas não entendi.



Avatar do usuário
petras
7 - Einstein
Mensagens: 9826
Registrado em: Qui 23 Jun, 2016 14:20
Última visita: 26-03-24
Out 2020 11 17:09

Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por petras »

Jhonatan,

ZC = X
DC = Y
BZ + ZC = BD + DC --: 6 + X =7 + Y
Anexos
TI.jpg
TI.jpg (11.28 KiB) Exibido 3812 vezes



Avatar do usuário
Jhonatan
Guru
Mensagens: 475
Registrado em: Dom 25 Set, 2016 22:42
Última visita: 05-02-24
Out 2020 11 18:23

Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Jhonatan »

muito obrigado pela ajuda, petras!!!!!




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”