Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Inequação trigonométrica Tópico resolvido

[thetruthFMA]

(Fuvest) Determine os valores de x no intervalo ]0,2π[ para os quais cos x ≥ (√3 )Sen x +√3.

Resposta

---

3π/2≤x≤11π/6

[csmarcelo]

[tex3]\(\sqrt{1-\sin^2x}\)^2\geqslant(\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3})^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(\sqrt{1-\sin^2x}\)^2\geqslant(\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3})^2[/tex3]

[tex3]1-\sin^2x\geqslant3\sin^2x+6\sin x+3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-\sin^2x\geqslant3\sin^2x+6\sin x+3[/tex3]

[tex3]4\sin^2x+6\sin x+2\leqslant0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\sin^2x+6\sin x+2\leqslant0[/tex3]

[tex3]-1\leqslant x\leqslant-\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-1\leqslant x\leqslant-\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{7\pi}{6}\leqslant x\leqslant\frac{11\pi}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{7\pi}{6}\leqslant x\leqslant\frac{11\pi}{6}[/tex3]

Como elevamos ao quadrado os membros da inequação, precisamos verificar se há raízes estranhas. E, fazendo tal análise, constatamos que os valores de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

para os quais o cosseno é negativo não são válidos, o que nos leva ao gabarito.

[snooplammer]

[tex3]\cos x- \sqrt{3}\sen x \geq \sqrt3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos x- \sqrt{3}\sen x \geq \sqrt3[/tex3]

[tex3]2\bigg(\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2} \sen x \bigg) \geq \sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\bigg(\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2} \sen x \bigg) \geq \sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2} \sen x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2} \sen x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]\sen\big(30^\circ-x \big) \geq \sen (60^\circ)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen\big(30^\circ-x \big) \geq \sen (60^\circ)[/tex3]

[tex3]60^\circ \leq 30^\circ - x \leq 120^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]60^\circ \leq 30^\circ - x \leq 120^\circ[/tex3]

Só terminar

[thetruthFMA]

[tex3]\sen\big(30^\circ-x \big) \geq \sen (60^\circ)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen\big(30^\circ-x \big) \geq \sen (60^\circ)[/tex3]

Como se resolve a partir daí? Não poderia cortar os senos?

[snooplammer]

Como assim cortar os senos?

DeepinScreenshot_select-area_20190713020059.png (27.17 KiB) Exibido 3982 vezes

O que está em vermelho é a solução da questão

[csmarcelo]

snooplammer, acho que ele deduziu o seguinte:

[tex3]\sin(30^\circ-x)\geqslant\sin(60^\circ)\rightarrow30^\circ-x\geqslant60^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin(30^\circ-x)\geqslant\sin(60^\circ)\rightarrow30^\circ-x\geqslant60^\circ[/tex3]

[snooplammer]

Pode até ser, mas daí ele só acharia o valor minimo, falta achar o máximo. O que ele perguntou, eu escrevi aqui:

[tex3]60^\circ \leq 30^\circ - x \leq 120^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]60^\circ \leq 30^\circ - x \leq 120^\circ[/tex3]

[erihh3]

[tex3]\sen\big(30^\circ-x \big) \geq \sen (60^\circ)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen\big(30^\circ-x \big) \geq \sen (60^\circ)[/tex3]

Como se resolve a partir daí? Não poderia cortar os senos?

O problema de cortar os senos é que ele não é uma função injetora no intervalo dado. Veja por exemplo que sen(120º)=sen(60º), mas 120º é diferente de 60º. Você poderia cortar se o intevalo fosse de [0;pi/2], por exemplo, pois não haveria valores iguais no intervalo. Cortando fora dessa condição, você não vai encontrar todas as soluções porque já pressupõe que ela é injetora. Nesse caso, você acharia um pedaço da solução, mas dependendo da equação você poderia até não encontrar nenhuma.


Resumindo:
Só se pode "cortar" uma função se ela for injetora no intervalo analisado. Aí usa-se a propriedade das funções injetoras [tex3]f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y[/tex3]

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[tex3]f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y[/tex3]

que vale tanto cortar quanto aplicar a função na igualdade.

[kimpetras]

[tex3]\(\sqrt{1-\sin^2x}\)^2\geqslant(\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3})^2[/tex3]

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[tex3]\(\sqrt{1-\sin^2x}\)^2\geqslant(\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3})^2[/tex3]

[tex3]1-\sin^2x\geqslant3\sin^2x+6\sin x+3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-\sin^2x\geqslant3\sin^2x+6\sin x+3[/tex3]

[tex3]4\sin^2x+6\sin x+2\leqslant0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\sin^2x+6\sin x+2\leqslant0[/tex3]

[tex3]-1\leqslant x\leqslant-\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-1\leqslant x\leqslant-\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{7\pi}{6}\leqslant x\leqslant\frac{11\pi}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{7\pi}{6}\leqslant x\leqslant\frac{11\pi}{6}[/tex3]

Como elevamos ao quadrado os membros da inequação, precisamos verificar se há raízes estranhas. E, fazendo tal análise, constatamos que os valores de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

para os quais o cosseno é negativo não são válidos, o que nos leva ao gabarito.

estou confuso pq essa resposta difere do gabarito