Ensino Médio(Nível IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Flavio2020
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Jul 2019 05 12:29

(Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

Calcular a área da região triangular ABC, se: CK=a (T é ponto de tangência).
bk.PNG
bk.PNG (19.94 KiB) Exibido 2233 vezes
a) a²
b) 2a²
c) 3a²
d) [tex3]\frac{a²}{2}[/tex3]
e) [tex3]\frac{3a²}{2}[/tex3]
Resposta

a




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jvmago
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Jul 2019 06 15:55

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

--------------------------------UP------------------------------



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Auto Excluído (ID:12031)
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Jul 2019 06 18:00

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Seja [tex3]T'[/tex3] o ponto diametralmente oposto ao ponto [tex3]T[/tex3] então [tex3]BT' \cap AC = X[/tex3] onde [tex3]X[/tex3] é ponto de contato da ex-inscrita do vértice B.
Prova: B é centro de homotetia entre o círculo inscrito e o ex-inscrito pelo vértice B, pois é o encontro das tangentes comuns aos círculos.



Auto Excluído (ID:12031)
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Jul 2019 08 17:16

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Além do que eu disse acima: [tex3]T[/tex3] está na circunferência que passa por [tex3]K[/tex3] pois [tex3]T'T \perp AC[/tex3] logo [tex3]T[/tex3] enxerga a circunferência que passa por [tex3]K[/tex3] com um ângulo reto, logo enxerga seu diâmetro com um ângulo reto e portanto está na circunferência.
A reta unindo o centro dos círculos é base média do triângulo retângulo [tex3]\Delta TT'X[/tex3] logo é paralela à [tex3]AC[/tex3] . E, sendo [tex3]a'[/tex3] o lado oposto ao vértice [tex3]A[/tex3] e [tex3]c[/tex3] o lado oposto ao vértice [tex3]C[/tex3] : [tex3]TX = \frac{a'-c}2[/tex3]

A potência de [tex3]C[/tex3] em relação ao círculo que passa por [tex3]K[/tex3] é:
[tex3]Pot_c = CX \cdot CT = (p-a')(p-c) = S = a^2[/tex3]
o fato de [tex3](p-a')(p-c)[/tex3] ser igual a area é porque [tex3]r = p-b[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Seg 08 Jul, 2019 17:18). Total de 1 vez.



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jvmago
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Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

PELO AMOR DE EUCLIDES, VOLTA SOUSOEU!!!!!


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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petras
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Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por petras »

geobson, Esta relação não está correta...TX seria na verdade a-c e a base média seria (a-c)/2 mas como ele chegou a TX = a-c não consegui identificar ainda



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geobson
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Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson »

petras escreveu:
Sáb 08 Abr, 2023 09:52
geobson, Esta relação não está correta...TX seria na verdade a-c e a base média seria (a-c)/2 mas como ele chegou a TX = a-c não consegui identificar ainda
Obrigado Petras ...
Acho que ele deve ter usado essa propriedade
Anexos
Screenshot_2023-04-08-09-56-58-1.png
Screenshot_2023-04-08-09-56-58-1.png (30.93 KiB) Exibido 411 vezes



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geobson
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Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson »

Realmente ....ficaria 'a - c ...deve ter sido um lapso ....



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geobson
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Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson »

Propriedade usadas na solução deste problema.
Anexos
Screenshot_2023-04-08-12-16-38-1.png
Screenshot_2023-04-08-12-16-38-1.png (394 KiB) Exibido 395 vezes
Screenshot_2023-04-08-12-16-57-1.png
Screenshot_2023-04-08-12-16-57-1.png (362.36 KiB) Exibido 395 vezes
Screenshot_2023-04-08-12-20-12-1.png
Screenshot_2023-04-08-12-20-12-1.png (144.32 KiB) Exibido 395 vezes



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petras
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Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por petras »

geobson

[tex3]\underbrace{KC}_a{^2} = CX.CT \implies a^2=CX.CT\\
S_{\triangle ABC} =AT.CT{(propriedade:2)}\\
Por~propriedade (1): CX=AT:CT=AX \\
\therefore S_{\triangle ABC} = CX.AX=a^2[/tex3]

[tex3]^*:BT_4 = (p-b)+(p-c)-(p-b) = p-c=CT_4\\
CT_2=(p-b)+(p-c)-(p-c) = p-b = BT_2 [/tex3]
fig0.jpg
fig0.jpg (15.61 KiB) Exibido 377 vezes
fig012.jpg
fig012.jpg (18.55 KiB) Exibido 377 vezes
fig0.jpg
fig0.jpg (17.96 KiB) Exibido 377 vezes




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