Olimpíadas ⇒ Produtos Notáveis (POTI)
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Matheusp60
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Jun 2019
26
17:45
Produtos Notáveis (POTI)
Se [tex3]x^{12} + 2x^6(1 − 2y^2) + 1 = 0[/tex3]
e [tex3]x\in \mathbb{R}_-[/tex3]
, então mostre que [tex3]y<1[/tex3]
.
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Jun 2019
26
19:15
Re: Produtos Notáveis (POTI)
x não pode ser zero.
desigualdade das médias
[tex3]x^{12}+1 \geq 2x^6[/tex3]
somando
[tex3]2x^{6}(1-2y^2)[/tex3]
dos dois lados
[tex3]0 \geq 2x^6 +2x^{6}(1-2y^2)[/tex3]
como [tex3]x^6>0[/tex3]
[tex3]0 \geq 1 + 1 - 2y^2 \iff y^2 \geq 1 \iff y\geq 1 \text{ ou } y \leq -1[/tex3]
não sei como restringir mais ainda o [tex3]y[/tex3]
desigualdade das médias
[tex3]x^{12}+1 \geq 2x^6[/tex3]
somando
[tex3]2x^{6}(1-2y^2)[/tex3]
dos dois lados
[tex3]0 \geq 2x^6 +2x^{6}(1-2y^2)[/tex3]
como [tex3]x^6>0[/tex3]
[tex3]0 \geq 1 + 1 - 2y^2 \iff y^2 \geq 1 \iff y\geq 1 \text{ ou } y \leq -1[/tex3]
não sei como restringir mais ainda o [tex3]y[/tex3]
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Babi123
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Jun 2019
26
20:20
Re: Produtos Notáveis (POTI)
Tentei assim:
[tex3]x^{12}+2x^6(1-2y^2)+1=0[/tex3]
Fazendo [tex3]x^6=k[/tex3] , segue que:
[tex3]k^2+2k(1-2y^2)+1=0[/tex3]
Como [tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3] , temos:
[tex3]\Delta\geq0\\
(1-2y^2)^2-4\geq0\\
(5-2y^2)(-3-2y^2)\geq0[/tex3]
Será que resolvendo essa inequação sai?
Estou sem tempo agora para prosseguir...
[tex3]x^{12}+2x^6(1-2y^2)+1=0[/tex3]
Fazendo [tex3]x^6=k[/tex3] , segue que:
[tex3]k^2+2k(1-2y^2)+1=0[/tex3]
Como [tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3] , temos:
[tex3]\Delta\geq0\\
(1-2y^2)^2-4\geq0\\
(5-2y^2)(-3-2y^2)\geq0[/tex3]
Será que resolvendo essa inequação sai?
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Matheusp60
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Jun 2019
26
20:43
Re: Produtos Notáveis (POTI)
O coeficiente [tex3]b[/tex3] da equação é [tex3]2(1-2y^2)[/tex3] , ficando assim, [tex3]4(1-2y^2)-4\geq 0[/tex3] , logo [tex3]-16y^2(y^2+1)\geq 0 [/tex3] .Babi123 escreveu: ↑26 Jun 2019, 20:20 Tentei assim:
[tex3]x^{12}+2x^6(1-2y^2)+1=0[/tex3]
Fazendo [tex3]x^6=k[/tex3] , segue que:
[tex3]k^2+2k(1-2y^2)+1=0[/tex3]
Como [tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3] , temos:
[tex3]\Delta\geq0\\
(1-2y^2)^2-4\geq0\\
(5-2y^2)(-3-2y^2)\geq0[/tex3]
Será que resolvendo essa inequação sai?
Estou sem tempo agora para prosseguir...
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Jun 2019
26
21:13
Re: Produtos Notáveis (POTI)
Como você deu 0 no lado esquerdo da inquação [tex3]0 \geq 2x^6 +2x^{6}(1-2y^2)[/tex3] ?sousóeu escreveu: ↑26 Jun 2019, 19:15 x não pode ser zero.
desigualdade das médias
[tex3]x^{12}+1 \geq 2x^6[/tex3]
somando
[tex3]2x^{6}(1-2y^2)[/tex3]
dos dois lados
[tex3]0 \geq 2x^6 +2x^{6}(1-2y^2)[/tex3]
como [tex3]x^6>0[/tex3]
[tex3]0 \geq 1 + 1 - 2y^2 \iff y^2 \geq 1 \iff y\geq 1 \text{ ou } y \leq -1[/tex3]
não sei como restringir mais ainda o [tex3]y[/tex3]
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Jun 2019
26
21:16
Re: Produtos Notáveis (POTI)
[tex3]x{12} +1 \geq 2x^6[/tex3]
[tex3]x^{12} + 2x^{6}(1-2y^2) + 1 \geq 2x^6 + 2x^6(1-2y^2)[/tex3]
[tex3]0 \geq 2x^6 + 2x^6(1-2y^2)[/tex3]
[tex3]x^{12} + 2x^{6}(1-2y^2) + 1 \geq 2x^6 + 2x^6(1-2y^2)[/tex3]
[tex3]0 \geq 2x^6 + 2x^6(1-2y^2)[/tex3]
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Jun 2019
26
21:29
Re: Produtos Notáveis (POTI)
O enunciado está errado.Matheusp60 escreveu: ↑26 Jun 2019, 17:45 Se [tex3]x^{12} + 2x^6(1 − 2y^2) + 1 = 0[/tex3] e [tex3]x\in \mathbb{R}_-[/tex3] , então mostre que [tex3]y<1[/tex3] .
Pegue o caso em que [tex3]x^6=2[/tex3] , por exemplo.
[tex3]x^{12} + 2x^6(1 − 2y^2) + 1 = 0[/tex3]
[tex3]4 + 2.2.(1 − 2y^2) + 1 = 0[/tex3]
[tex3]9 − 8y^2 = 0[/tex3]
[tex3]y = \pm\sqrt{\frac{9}{8}}[/tex3]
[tex3]y=\sqrt{\frac{9}{8}}>1[/tex3] é resposta
Eu encontrei a mesma reposta do sousóeu fazendo de outro jeito.
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Jun 2019
26
23:03
Re: Produtos Notáveis (POTI)
Eu tirei o problema daí. Ele ta estranho mesmo.erihh3 escreveu: ↑26 Jun 2019, 21:29O enunciado está errado.Matheusp60 escreveu: ↑26 Jun 2019, 17:45 Se [tex3]x^{12} + 2x^6(1 − 2y^2) + 1 = 0[/tex3] e [tex3]x\in \mathbb{R}_-[/tex3] , então mostre que [tex3]y<1[/tex3] .
Pegue o caso em que [tex3]x^6=2[/tex3] , por exemplo.
[tex3]x^{12} + 2x^6(1 − 2y^2) + 1 = 0[/tex3]
[tex3]4 + 2.2.(1 − 2y^2) + 1 = 0[/tex3]
[tex3]9 − 8y^2 = 0[/tex3]
[tex3]y = \pm\sqrt{\frac{9}{8}}[/tex3]
[tex3]y=\sqrt{\frac{9}{8}}>1[/tex3] é resposta
Eu encontrei a mesma reposta do sousóeu fazendo de outro jeito.
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