Ensino Médio ⇒ geometria espacial Tópico resolvido

[vitorsl123]

O diâmetro de uma das bases de um tronco de cone é 100mm. Se o diâmetro é aumentado de 21%, mantendo-se altura e o tamanho da outra base inalterados, o volume do tronco de cone também aumentado 21%. Qual o diâmetro da outra base?

[baltuilhe]

Bom dia!

Fórmula para volume de tronco de cone:
[tex3]V=\dfrac{\pi\cdot h}{12}\cdot\left(D^2+d^2+D\cdot d\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\dfrac{\pi\cdot h}{12}\cdot\left(D^2+d^2+D\cdot d\right)[/tex3]

Calculando-se o volume inicial:
[tex3]V_1=\dfrac{\pi\cdot h}{12}\cdot\left(100^2+d^2+100\cdot d\right)\\
V_1=\dfrac{\pi\cdot h}{12}\cdot\left(10\,000+d^2+100d\right)
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_1=\dfrac{\pi\cdot h}{12}\cdot\left(100^2+d^2+100\cdot d\right)\\
V_1=\dfrac{\pi\cdot h}{12}\cdot\left(10\,000+d^2+100d\right)
[/tex3]

O segundo volume tem o diâmetro aumentado em 21%, e o volume também fica aumentado em 21%. Portanto:
[tex3]V_2=\dfrac{\pi\cdot h}{12}\cdot\left(121^2+d^2+121\cdot d\right)\\
V_2=\dfrac{\pi\cdot h}{12}\cdot\left(14\,641+d^2+121d\right)
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_2=\dfrac{\pi\cdot h}{12}\cdot\left(121^2+d^2+121\cdot d\right)\\
V_2=\dfrac{\pi\cdot h}{12}\cdot\left(14\,641+d^2+121d\right)
[/tex3]

Dividindo-se o segundo volume pelo primeiro:
[tex3]\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{14\,641+121d+d^2}{10\,000+100d+d^2}\Rightarrow
\dfrac{1,21\cdot \cancel{V_1}}{\cancel{V_1}}=\dfrac{14\,641+121d+d^2}{10\,000+100d+d^2}\\
1,21=\dfrac{14\,641+121d+d^2}{10\,000+100d+d^2}\\
1,21\cdot\left(10\,000+100d+d^2\right)=14\,641+121d+d^2\\
1,21d^2+\cancel{121d}+12\,100=d^2+\cancel{121d}+14\,641\\
1,21d^2-d^2=14\,641-12\,100\\
0,21d^2=2\,541\\
d^2=\dfrac{2\,541}{0,21}\\
d^2=12\,100\\
\boxed{d=110}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{14\,641+121d+d^2}{10\,000+100d+d^2}\Rightarrow
\dfrac{1,21\cdot \cancel{V_1}}{\cancel{V_1}}=\dfrac{14\,641+121d+d^2}{10\,000+100d+d^2}\\
1,21=\dfrac{14\,641+121d+d^2}{10\,000+100d+d^2}\\
1,21\cdot\left(10\,000+100d+d^2\right)=14\,641+121d+d^2\\
1,21d^2+\cancel{121d}+12\,100=d^2+\cancel{121d}+14\,641\\
1,21d^2-d^2=14\,641-12\,100\\
0,21d^2=2\,541\\
d^2=\dfrac{2\,541}{0,21}\\
d^2=12\,100\\
\boxed{d=110}[/tex3]

Espero ter ajudado!