Ensino Superior ⇒ Geometria Plana - Quadrado de lado a Tópico resolvido

[buiu229]

São dados um quadrado de lado a em um triângulo equilátero de lado a. Calcule a área hachurada, sabendo que os pontos A, B e C são alinhados:

Screen Shot 2019-06-09 at 14.39.59.png (73.32 KiB) Exibido 3181 vezes

Resposta

---

Gabarito: [tex3]\frac{a^{2}(2\sqrt{3}-1)}{44}[/tex3]

[snooplammer]

Eu sei que é pra fazer por geometria plana, mas por analítica me parece mais imediata. Ponha os eixos cartesianos no lado do quadrado, provavelmente vai sair assim

[buiu229]

Desse jeito eu não faço ideia...sinceramente...

[Babi123]

Primeiramente, denotemos o quadrado [tex3]ABDE[/tex3]

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[tex3]ABDE[/tex3]

e o triângulo equilátero [tex3]BCF[/tex3]

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[tex3]BCF[/tex3]

A forma que o o colega indicou é seguinte:
Considere o plano cartesiano de abcissa [tex3]AC[/tex3]

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[tex3]AC[/tex3]

e ordenada [tex3]AE[/tex3]

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[tex3]AE[/tex3]

, sendo [tex3]A(0,0)[/tex3]

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[tex3]A(0,0)[/tex3]

a origem.

De lucro vc já tem as coordenadas de [tex3]B(a,0)[/tex3]

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[tex3]B(a,0)[/tex3]

.

Seja [tex3]K=BD\cap CE[/tex3]

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[tex3]K=BD\cap CE[/tex3]

e [tex3]T=BF\cap CE[/tex3]

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[tex3]T=BF\cap CE[/tex3]

.

A reta [tex3]CE[/tex3]

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[tex3]CE[/tex3]

tem equação:
[tex3]y=-\frac{1}{2}x+a[/tex3]

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[tex3]y=-\frac{1}{2}x+a[/tex3]

A reta [tex3]BD[/tex3]

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[tex3]BD[/tex3]

tem equação [tex3]x=a[/tex3]

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[tex3]x=a[/tex3]

Então, [tex3]K[/tex3]

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[tex3]K[/tex3]

é a interseção entre as retas [tex3]BD[/tex3]

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[tex3]BD[/tex3]

e [tex3]CE[/tex3]

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[tex3]CE[/tex3]

. Ou seja:
[tex3]y=-\frac{1}{2}a+a\\
y=\frac{a}{2}[/tex3]

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[tex3]y=-\frac{1}{2}a+a\\
y=\frac{a}{2}[/tex3]

Logo, [tex3]K\(a, \frac{a}{2}\)[/tex3]

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[tex3]K\(a, \frac{a}{2}\)[/tex3]

Encontre a equação da reta [tex3]BF[/tex3]

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[tex3]BF[/tex3]

, sabendo que o [tex3]\tg(\angle CBF)=\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\tg(\angle CBF)=\sqrt{3}[/tex3]

. Depois para encontrar as coordenadas de [tex3]T[/tex3]

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[tex3]T[/tex3]

faça a igualdade entre as equações das retas [tex3]BF[/tex3]

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[tex3]BF[/tex3]

e [tex3]CE[/tex3]

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[tex3]CE[/tex3]

.

Depois de ter as coordenadas dos pontos [tex3]B, K,T[/tex3]

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[tex3]B, K,T[/tex3]

utilize a fórmula da área de um triângulo na geometria analítica.

[Babi123]

Acredito ser isso, mas tbm tenho a leve impressão que já vi essa questão aqui no fórum.

[snooplammer]

É isso mesmo, Babi123. Estava procurando uma solução alternativa e vi uma por trigonometria que é legal também. Se ninguém fizer eu posto mais tarde

[Babi123]

Opaaa por trigonometria deve ser legal

[rodBR]

Olá buiu229,bom dia.

Farei a solução por Geometria Plana mesmo.

1.png (70.28 KiB) Exibido 3134 vezes

De [tex3]\Delta ACE[/tex3]

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[tex3]\Delta ACE[/tex3]

~[tex3]\Delta BCK[/tex3]

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[tex3]\Delta BCK[/tex3]

:
[tex3]\frac{a}{2a}=\frac{BK}{a}\\
\boxed{BK=\frac{a}{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{2a}=\frac{BK}{a}\\
\boxed{BK=\frac{a}{2}}[/tex3]

Agora, é só perceber o seguinte:
[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=a^2[/tex3]

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[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=a^2[/tex3]

Por outro lado,
[tex3]A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=\frac{2a\cdot a}{2}\\
A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=a^2[/tex3]

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[tex3]A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=\frac{2a\cdot a}{2}\\
A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=a^2[/tex3]

Então, temos que:
[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}\\
A_{KBT}=A_{KDE}-A_{BCT}\\
\boxed{A_{KBT}=\frac{a\cdot \frac{a}{2}}{2}-\frac{BT\cdot\frac{a}{2}\cdot \sen60^o}{2}} \ \ (*)[/tex3]

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[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}\\
A_{KBT}=A_{KDE}-A_{BCT}\\
\boxed{A_{KBT}=\frac{a\cdot \frac{a}{2}}{2}-\frac{BT\cdot\frac{a}{2}\cdot \sen60^o}{2}} \ \ (*)[/tex3]

Mas,
[tex3]A_{KBT}=\frac{\frac{a}{2}\cdot BT\cdot \sen30^o}{2}\\
A_{KBT}=\frac{a\cdot BT}{8}\\
\boxed{BT=\frac{8\cdot A_{KBT}}{a}}[/tex3]

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[tex3]A_{KBT}=\frac{\frac{a}{2}\cdot BT\cdot \sen30^o}{2}\\
A_{KBT}=\frac{a\cdot BT}{8}\\
\boxed{BT=\frac{8\cdot A_{KBT}}{a}}[/tex3]

Agora, basta substituir o valor de [tex3]BT[/tex3]

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[tex3]BT[/tex3]

em [tex3](*)[/tex3]

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[tex3](*)[/tex3]

e vc chega no resultado.


OBS.: Essa estratégia foi motivada por uma resolução de um professor quando eu estudava no ensino médio

[buiu229]

Vou tentar resolver por esse método...

[petras]

rodBR,

Apenas uma correção:

[tex3]\Delta ACE\sim\Delta BC{\color{red}K}[/tex3]

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[tex3]\Delta ACE\sim\Delta BC{\color{red}K}[/tex3]