Ensino SuperiorGeometria Plana - Quadrado de lado a Tópico resolvido

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buiu229
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Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por buiu229 »

São dados um quadrado de lado a em um triângulo equilátero de lado a. Calcule a área hachurada, sabendo que os pontos A, B e C são alinhados:
Screen Shot 2019-06-09 at 14.39.59.png
Screen Shot 2019-06-09 at 14.39.59.png (73.32 KiB) Exibido 3107 vezes
Resposta

Gabarito: [tex3]\frac{a^{2}(2\sqrt{3}-1)}{44}[/tex3]

Última edição: caju (Dom 09 Jun, 2019 14:41). Total de 2 vezes.
Razão: retirar o enunciado da imagem.



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snooplammer
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Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por snooplammer »

Eu sei que é pra fazer por geometria plana, mas por analítica me parece mais imediata. Ponha os eixos cartesianos no lado do quadrado, provavelmente vai sair assim




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buiu229
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Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por buiu229 »

Desse jeito eu não faço ideia...sinceramente...



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Babi123
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Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por Babi123 »

Primeiramente, denotemos o quadrado [tex3]ABDE[/tex3] e o triângulo equilátero [tex3]BCF[/tex3]

A forma que o o colega indicou é seguinte:
Considere o plano cartesiano de abcissa [tex3]AC[/tex3] e ordenada [tex3]AE[/tex3] , sendo [tex3]A(0,0)[/tex3] a origem.

De lucro vc já tem as coordenadas de [tex3]B(a,0)[/tex3] .

Seja [tex3]K=BD\cap CE[/tex3] e [tex3]T=BF\cap CE[/tex3] .

A reta [tex3]CE[/tex3] tem equação:
[tex3]y=-\frac{1}{2}x+a[/tex3]

A reta [tex3]BD[/tex3] tem equação [tex3]x=a[/tex3]

Então, [tex3]K[/tex3] é a interseção entre as retas [tex3]BD[/tex3] e [tex3]CE[/tex3] . Ou seja:
[tex3]y=-\frac{1}{2}a+a\\
y=\frac{a}{2}[/tex3]
Logo, [tex3]K\(a, \frac{a}{2}\)[/tex3]

Encontre a equação da reta [tex3]BF[/tex3] , sabendo que o [tex3]\tg(\angle CBF)=\sqrt{3}[/tex3] . Depois para encontrar as coordenadas de [tex3]T[/tex3] faça a igualdade entre as equações das retas [tex3]BF[/tex3] e [tex3]CE[/tex3] .

Depois de ter as coordenadas dos pontos [tex3]B, K,T[/tex3] utilize a fórmula da área de um triângulo na geometria analítica.
Última edição: Babi123 (Dom 09 Jun, 2019 16:05). Total de 3 vezes.



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Babi123
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Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por Babi123 »

Acredito ser isso, mas tbm tenho a leve impressão que já vi essa questão aqui no fórum. :roll:



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snooplammer
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Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por snooplammer »

É isso mesmo, Babi123. Estava procurando uma solução alternativa e vi uma por trigonometria que é legal também. Se ninguém fizer eu posto mais tarde



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Babi123
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Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por Babi123 »

Opaaa por trigonometria deve ser legal :D:D



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rodBR
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Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por rodBR »

Olá buiu229,bom dia.

Farei a solução por Geometria Plana mesmo.
1.png
1.png (70.28 KiB) Exibido 3060 vezes
De [tex3]\Delta ACE[/tex3] ~[tex3]\Delta BCK[/tex3] :
[tex3]\frac{a}{2a}=\frac{BK}{a}\\
\boxed{BK=\frac{a}{2}}[/tex3]

Agora, é só perceber o seguinte:
[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=a^2[/tex3]

Por outro lado,
[tex3]A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=\frac{2a\cdot a}{2}\\
A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=a^2[/tex3]

Então, temos que:
[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}\\
A_{KBT}=A_{KDE}-A_{BCT}\\
\boxed{A_{KBT}=\frac{a\cdot \frac{a}{2}}{2}-\frac{BT\cdot\frac{a}{2}\cdot \sen60^o}{2}} \ \ (*)[/tex3]

Mas,
[tex3]A_{KBT}=\frac{\frac{a}{2}\cdot BT\cdot \sen30^o}{2}\\
A_{KBT}=\frac{a\cdot BT}{8}\\
\boxed{BT=\frac{8\cdot A_{KBT}}{a}}[/tex3]

Agora, basta substituir o valor de [tex3]BT[/tex3] em [tex3](*)[/tex3] e vc chega no resultado.


OBS.: Essa estratégia foi motivada por uma resolução de um professor quando eu estudava no ensino médio
Última edição: rodBR (Seg 10 Jun, 2019 17:17). Total de 3 vezes.
Razão: fazer correção na escrita matemática,


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

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buiu229
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Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por buiu229 »

Vou tentar resolver por esse método...



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petras
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Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por petras »

rodBR,

Apenas uma correção:
rodBR escreveu:
Seg 10 Jun, 2019 01:35
[tex3]\Delta ACE\sim\Delta BC{\color{red}K}[/tex3]




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